Calculadora de divisão sintética

Como usar a Calculadora de Divisão Sintética

Para executar divisão sintética, siga estes 4 passos:

• Digite os coeficientes do dividendo em ordem, usando 0 para qualquer potência faltante.
• Digite o valor c do divisor x − c (use c = −2 para x + 2).
• Clique em Calcular para abaixar, multiplicar por c e somar.
• Leia os coeficientes do quociente e o resto final.

O divisor deve ser linear, x − c. Para x + 2, defina c = −2, porque x + 2 = x − (−2).

Divisão sintética vs. longa

A divisão sintética é um atalho para divisão longa de polinômios que só funciona quando o divisor é linear, x − c. Ela substitui o esquema completo dividir–multiplicar–subtrair por uma tabela compacta de coeficientes, transformando subtração em adição usando c diretamente em vez do divisor inteiro. Está ligada ao teorema do resto: o resto equivale a P(c), o valor do polinômio em c. Se esse resto é 0, então x − c é um fator do polinômio, e isso é o teorema do fator. A Calculadora de Divisão Sintética torna fácil essa avaliação rápida e o teste de fatoração.

Como funciona a divisão sintética

A calculadora divide por x − c por meio de cinco ações internas:

• Lista os coeficientes do dividendo em ordem decrescente, com zeros para potências faltantes.
• Abaixa o coeficiente principal inalterado como primeiro coeficiente do quociente.
• Multiplica o valor recém-escrito por c e soma ao coeficiente seguinte.
• Repete multiplicar-e-somar em cada coeficiente.
• Lê todos os resultados exceto o último como coeficientes do quociente e o último como resto.

O quociente tem grau um a menos que o dividendo, e o resto é uma constante igual a P(c).

Fórmula e teorema do resto

A Calculadora de Divisão Sintética usa a identidade da divisão P(x) = (x − c)·Q(x) + r, onde o resto r é uma constante. O teorema do resto afirma r = P(c), e o teorema do fator acrescenta que r = 0 significa que x − c é um fator. Para P(x) = x³ − 2x² − 4 dividido por x − 3, a divisão sintética dá r = P(3) = 5.

Problemas de exemplo com divisão sintética

Estes exemplos dividem por um fator linear com multiplicar-e-somar.

Exemplo 1 — (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1)

1. Coeficientes 2, 3, −5 com c = 1; abaixe 2.
2. 2 × 1 = 2, some a 3 → 5; 5 × 1 = 5, some a −5 → 0.
3. Quociente 2x + 5, resto 0, então x − 1 é um fator.

Exemplo 2 — Termo faltante: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Coeficientes 1, 0, 0, −8 com c = 2; abaixe 1.
2. 1 × 2 = 2 → 2; 2 × 2 = 4 → 4; 4 × 2 = 8 → 0.
3. Quociente x² + 2x + 4, resto 0.

Exemplo 3 — Divisor x + 2: (x³ − 2x² − 4) ÷ (x + 2)

1. Use c = −2; coeficientes 1, −2, 0, −4; abaixe 1.
2. 1 × −2 = −2 → −4; −4 × −2 = 8 → 8; 8 × −2 = −16 → −20.
3. Quociente x² − 4x + 8, resto −20.

Coeficientes 2, 3, −5 com c = 1; abaixe 2.
2 × 1 = 2, some a 3 → 5; 5 × 1 = 5, some a −5 → 0.
Quociente 2x + 5, resto 0, então x − 1 é um fator.

Coeficientes 1, 0, 0, −8 com c = 2; abaixe 1.
1 × 2 = 2 → 2; 2 × 2 = 4 → 4; 4 × 2 = 8 → 0.
Quociente x² + 2x + 4, resto 0.

Use c = −2; coeficientes 1, −2, 0, −4; abaixe 1.
1 × −2 = −2 → −4; −4 × −2 = 8 → 8; 8 × −2 = −16 → −20.
Quociente x² − 4x + 8, resto −20.

Problemas com divisão sintética resolvidos

Como você divide x³ − 2x² − 4 por x − 3?

Quociente x² + x + 3, resto 5. Os coeficientes são 1, −2, 0, −4 com c = 3. Abaixe 1; 1 × 3 = 3, some a −2 → 1; 1 × 3 = 3, some a 0 → 3; 3 × 3 = 9, some a −4 → 5. O resto 5 equivale a P(3), confirmando o teorema do resto.

Como o resto informa sobre fatores?

Se o resto da divisão sintética é 0, então x − c é um fator do polinômio. Para (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1), o resto é 0, então x − 1 divide exatamente e x = 1 é uma raiz. Isso é o teorema do fator, e torna a divisão sintética uma ferramenta rápida para testar raízes.

Erros comuns na divisão sintética

A divisão sintética produz 5 erros frequentes:

• Usar c com sinal errado — para x + 2 você deve usar c = −2.
• Omitir um coeficiente zero para uma potência faltante, o que desloca cada resultado.
• Subtrair em vez de somar em cada coluna.
• Aplicar divisão sintética a um divisor não linear, onde não funciona.
• Ler o último número como coeficiente do quociente em vez de resto.

A Calculadora de Divisão Sintética define o sinal correto para c, insere marcadores e separa os coeficientes do quociente do resto.

Perguntas frequentes