Calculadora de divisão longa de polinômios

Como usar a Calculadora de Divisão Longa de Polinômios

Para dividir polinômios, siga estes 4 passos:

• Digite o polinômio dividendo, como 2x³ − 3x² + 4x − 5, no primeiro campo.
• Digite o polinômio divisor, como x − 2, no segundo campo.
• Clique em Calcular para dividir termo a termo em ordem decrescente.
• Leia o polinômio quociente, o resto e cada passo mostrado.

Inclua coeficientes zero para graus faltantes, como x³ + 0x² + 0x − 8, para que a calculadora mantenha cada potência alinhada na sua coluna.

Divisão de polinômios e funções racionais

Um polinômio é uma soma de termos, cada um um coeficiente vezes uma potência da variável. Dividir polinômios é como você simplifica uma função racional — uma razão de dois polinômios — em forma adequada. O grau de um polinômio funciona como o tamanho de um número: a divisão procede do grau mais alto para baixo. A divisão para quando o resto tem grau menor que o divisor, como um resto numérico fica abaixo do divisor. A Calculadora de Divisão Longa de Polinômios gerencia os graus, os marcadores e as mudanças de sinal que tornam isso confiável.

Como funciona a divisão longa de polinômios

A calculadora divide polinômios por meio de cinco ações internas:

• Escreve ambos os polinômios em grau decrescente e preenche potências faltantes com coeficientes zero.
• Divide o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor para obter um termo do quociente.
• Multiplica o divisor inteiro por esse termo do quociente.
• Subtrai o produto, eliminando o termo principal atual.
• Abaixa o termo seguinte e repete até o grau do resto ficar abaixo do divisor.

O quociente é a soma dos resultados termo a termo, e o polinômio restante de grau inferior é o resto.

Fórmula da divisão de polinômios

A Calculadora de Divisão Longa de Polinômios usa o algoritmo da divisão para polinômios: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x), com deg(R) < deg(D). Equivalentemente, a função racional é P(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x). Para (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3, a identidade confirma (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.

Problemas de exemplo com polinômios

Estes exemplos dividem polinômios com e sem resto.

Exemplo 1 — Divisão exata: (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2)

1. Divida x² ÷ x = x; multiplique x(x − 2) = x² − 2x; subtraia para deixar −3x + 6.
2. Divida −3x ÷ x = −3; multiplique −3(x − 2) = −3x + 6; subtraia para deixar 0.
3. Então (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Exemplo 2 — Com resto: (2x³ − 3x² + 0x − 4) ÷ (x − 1)

1. Divida 2x³ ÷ x = 2x²; subtraia 2x²(x − 1) para deixar −x² + 0x − 4.
2. Divida −x² ÷ x = −x; subtraia −x(x − 1) para deixar −x − 4; divida −x ÷ x = −1; subtraia para deixar −5.
3. Então o quociente é 2x² − x − 1 com resto −5.

Exemplo 3 — Potências faltantes: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Escreva x³ + 0x² + 0x − 8; divida x³ ÷ x = x²; subtraia para deixar 2x² + 0x − 8.
2. Divida 2x² ÷ x = 2x; subtraia para deixar 4x − 8; divida 4x ÷ x = 4; subtraia para deixar 0.
3. Então (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Divida x² ÷ x = x; multiplique x(x − 2) = x² − 2x; subtraia para deixar −3x + 6.
Divida −3x ÷ x = −3; multiplique −3(x − 2) = −3x + 6; subtraia para deixar 0.
Então (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Divida 2x³ ÷ x = 2x²; subtraia 2x²(x − 1) para deixar −x² + 0x − 4.
Divida −x² ÷ x = −x; subtraia −x(x − 1) para deixar −x − 4; divida −x ÷ x = −1; subtraia para deixar −5.
Então o quociente é 2x² − x − 1 com resto −5.

Escreva x³ + 0x² + 0x − 8; divida x³ ÷ x = x²; subtraia para deixar 2x² + 0x − 8.
Divida 2x² ÷ x = 2x; subtraia para deixar 4x − 8; divida 4x ÷ x = 4; subtraia para deixar 0.
Então (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Problemas com polinômios resolvidos

Como você divide 3x³ + 2x² − x + 5 por x + 2?

(3x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x + 2) = 3x² − 4x + 7 com resto −9. Divida 3x³ ÷ x = 3x², subtraia para deixar −4x² − x; divida −4x² ÷ x = −4x, subtraia para deixar 7x + 5; divida 7x ÷ x = 7, subtraia para deixar −9. Confira: (x + 2)(3x² − 4x + 7) − 9 = 3x³ + 2x² − x + 5.

Como a divisão de polinômios simplifica uma função racional?

Ela reescreve P(x)/D(x) como polinômio mais fração própria. Para (x² + 1)/(x − 1), a divisão longa dá x + 1 com resto 2, então (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). O resto sobre o divisor é a parte própria, essencial para graficar assíntotas e integrar funções racionais.

Erros comuns na divisão de polinômios

A divisão de polinômios produz 5 erros frequentes:

• Pular um coeficiente zero para um grau faltante, o que desalinha termos.
• Erros de sinal ao subtrair o produto, especialmente com constante negativa no divisor.
• Multiplicar o termo do quociente só pelo termo principal do divisor.
• Escrever quociente ou dividendo fora da ordem decrescente de grau.
• Parar antes que o grau do resto caia abaixo do grau do divisor.

A Calculadora de Divisão Longa de Polinômios insere marcadores, ordena termos por grau e acompanha cada sinal para que cada subtração seja exata.

Perguntas frequentes