Synthetische-Division-Rechner

So verwenden Sie den Synthetische-Division-Rechner

Um synthetische Division auszuführen, folgen Sie diesen 4 Schritten:

• Geben Sie die Koeffizienten des Dividenden der Reihe nach ein, mit 0 für fehlende Potenzen.
• Geben Sie den Wert c aus dem Divisor x − c ein (für x + 2 setzen Sie c = −2).
• Klicken Sie auf Berechnen, um herunterzuholen, mit c zu multiplizieren und zu addieren.
• Lesen Sie die Quotientenkoeffizienten und den finalen Rest.

Der Divisor muss linear sein, x − c. Für x + 2 setzen Sie c = −2, weil x + 2 = x − (−2).

Synthetische vs. normale Division

Synthetische Division ist eine Abkürzung der Polynomdivision, die nur funktioniert, wenn der Divisor linear ist, x − c. Sie ersetzt das volle Teilen–Multiplizieren–Subtrahieren-Layout durch eine kompakte Koeffiziententabelle und wandelt Subtraktion in Addition um, indem sie c direkt statt des ganzen Divisors nutzt. Sie hängt eng mit dem Restsatz zusammen: der Rest entspricht P(c), dem Polynomwert an c. Ist dieser Rest 0, ist x − c ein Faktor des Polynoms — das ist der Faktorsatz. Der Synthetische-Division-Rechner macht diese schnelle Auswertung und Faktorprüfung leicht.

Wie synthetische Division funktioniert

Der Rechner teilt durch x − c durch fünf interne Aktionen:

• Listet die Dividendenkoeffizienten absteigend, mit Nullen für fehlende Potenzen.
• Holt den führenden Koeffizienten unverändert herunter als ersten Quotientenkoeffizienten.
• Multipliziert den gerade geschriebenen Wert mit c und addiert zum nächsten Koeffizienten.
• Wiederholt Multiplizieren und Addieren über jeden Koeffizienten.
• Liest alle Ergebnisse außer dem letzten als Quotientenkoeffizienten und das letzte als Rest.

Der Quotient hat einen Grad weniger als der Dividend; der Rest ist eine Konstante gleich P(c).

Formel und Restsatz

Der Synthetische-Division-Rechner nutzt die Divisionsidentität P(x) = (x − c)·Q(x) + r, wobei der Rest r eine Konstante ist. Der Restsatz besagt r = P(c), der Faktorsatz ergänzt: r = 0 bedeutet, x − c ist ein Faktor. Für P(x) = x³ − 2x² − 4 geteilt durch x − 3 liefert synthetische Division r = P(3) = 5.

Synthetische-Division-Beispielaufgaben

Diese Beispiele teilen durch einen linearen Faktor mit Multiplizieren und Addieren.

Beispiel 1 — (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1)

1. Koeffizienten 2, 3, −5 mit c = 1; hole 2 herunter.
2. 2 × 1 = 2, addiere zu 3 → 5; 5 × 1 = 5, addiere zu −5 → 0.
3. Quotient 2x + 5, Rest 0, also ist x − 1 ein Faktor.

Beispiel 2 — Fehlender Term: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Koeffizienten 1, 0, 0, −8 mit c = 2; hole 1 herunter.
2. 1 × 2 = 2 → 2; 2 × 2 = 4 → 4; 4 × 2 = 8 → 0.
3. Quotient x² + 2x + 4, Rest 0.

Beispiel 3 — Divisor x + 2: (x³ − 2x² − 4) ÷ (x + 2)

1. Nutze c = −2; Koeffizienten 1, −2, 0, −4; hole 1 herunter.
2. 1 × −2 = −2 → −4; −4 × −2 = 8 → 8; 8 × −2 = −16 → −20.
3. Quotient x² − 4x + 8, Rest −20.

Koeffizienten 2, 3, −5 mit c = 1; hole 2 herunter.
2 × 1 = 2, addiere zu 3 → 5; 5 × 1 = 5, addiere zu −5 → 0.
Quotient 2x + 5, Rest 0, also ist x − 1 ein Faktor.

Koeffizienten 1, 0, 0, −8 mit c = 2; hole 1 herunter.
1 × 2 = 2 → 2; 2 × 2 = 4 → 4; 4 × 2 = 8 → 0.
Quotient x² + 2x + 4, Rest 0.

Nutze c = −2; Koeffizienten 1, −2, 0, −4; hole 1 herunter.
1 × −2 = −2 → −4; −4 × −2 = 8 → 8; 8 × −2 = −16 → −20.
Quotient x² − 4x + 8, Rest −20.

Durchgerechnete synthetische Aufgaben

Wie teilt man x³ − 2x² − 4 durch x − 3?

Quotient x² + x + 3, Rest 5. Koeffizienten 1, −2, 0, −4 mit c = 3. Hole 1 herunter; 1 × 3 = 3, addiere zu −2 → 1; 1 × 3 = 3, addiere zu 0 → 3; 3 × 3 = 9, addiere zu −4 → 5. Rest 5 entspricht P(3) — Restsatz bestätigt.

Was sagt der Rest über Faktoren aus?

Ist der Rest der synthetischen Division 0, ist x − c ein Faktor des Polynoms. Für (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1) ist der Rest 0, also teilt x − 1 exakt und x = 1 ist eine Nullstelle. Das ist der Faktorsatz — synthetische Division ist ein schnelles Wurzeltestwerkzeug.

Häufige Fehler bei synthetischer Division

Synthetische Division führt zu 5 häufigen Fehlern:

• c mit falschem Vorzeichen verwenden — für x + 2 muss c = −2 sein.
• Einen Nullkoeffizienten für eine fehlende Potenz weglassen, wodurch jedes Ergebnis verschoben wird.
• Subtrahieren statt in jeder Spalte addieren.
• Synthetische Division auf einen nicht-linearen Divisor anwenden, wo sie nicht funktioniert.
• Die letzte Zahl als Quotientenkoeffizient statt als Rest lesen.

Der Synthetische-Division-Rechner setzt das korrekte Vorzeichen für c, fügt Platzhalter ein und trennt Quotientenkoeffizienten vom Rest.

Haeufige Fragen