組み立て除法電卓

組み立て除法電卓の使い方

組み立て除法を実行するには、次の4つの手順に従います.

• 欠けている次数には 0 を使い、被除数の係数を順に入力します.
• 除数 x − c の c を入力します（x + 2 なら c = −2）.
• 計算をクリックして、おろし、c を掛け、横に足します.
• 商の係数と最終的な余りを読み取ります.

除数は一次式 x − c でなければなりません.x + 2 では c = −2 とします.x + 2 = x − (−2) だからです.

組み立て除法と長除法

組み立て除法は、除数が一次式 x − c のときだけ使える多項式長除法の省略法です.完全な割る・掛ける・引くレイアウトを、係数のコンパクトな表に置き換え、除数全体ではなく c を直接使うことで引き算を足し算に変えます.余りの定理と密接に結びついています.余りは P(c)、つまり c における多項式の値に等しいです.その余りが 0 なら x − c は多項式の因数であり、これが因数定理です.組み立て除法電卓は、この素早い評価と因数分解のテストを容易にします.

組み立て除法の仕組み

電卓は5つの内部処理で x − c による割り算を行います.

• 欠けている次数には 0 を入れ、被除数の係数を降べき順に並べます.
• 先頭係数をそのまま最初の商の係数としておろします.
• 今書いた値に c を掛け、次の係数に足します.
• すべての係数について掛け算と足し算を繰り返します.
• 最後の結果以外を商の係数、最後を余りとして読み取ります.

商の次数は被除数より1つ低く、余りは P(c) に等しい定数です.

公式と余りの定理

組み立て除法電卓は割り算の恒等式 P(x) = (x − c)·Q(x) + r を使い、余り r は定数です.余りの定理は r = P(c) と述べ、因数定理は r = 0 なら x − c が因数であると付け加えます.P(x) = x³ − 2x² − 4 を x − 3 で割ると、組み立て除法は r = P(3) = 5 を与えます.

組み立て除法の例題

これらの例は掛け算と足し算で一次因数による割り算を示します.

例1 — (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1)

1. 係数 2, 3, −5、c = 1.2 をおろします.
2. 2 × 1 = 2、3 に足す → 5.5 × 1 = 5、−5 に足す → 0.
3. 商 2x + 5、余り 0 なので x − 1 は因数です.

例2 — 欠けた項: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. 係数 1, 0, 0, −8、c = 2.1 をおろします.
2. 1 × 2 = 2 → 2.2 × 2 = 4 → 4.4 × 2 = 8 → 0.
3. 商 x² + 2x + 4、余り 0 です.

例3 — 除数 x + 2: (x³ − 2x² − 4) ÷ (x + 2)

1. c = −2 を使います.係数 1, −2, 0, −4.1 をおろします.
2. 1 × −2 = −2 → −4.−4 × −2 = 8 → 8.8 × −2 = −16 → −20.
3. 商 x² − 4x + 8、余り −20 です.

係数 2, 3, −5、c = 1.2 をおろします.
2 × 1 = 2、3 に足す → 5.5 × 1 = 5、−5 に足す → 0.
商 2x + 5、余り 0 なので x − 1 は因数です.

係数 1, 0, 0, −8、c = 2.1 をおろします.
1 × 2 = 2 → 2.2 × 2 = 4 → 4.4 × 2 = 8 → 0.
商 x² + 2x + 4、余り 0 です.

c = −2 を使います.係数 1, −2, 0, −4.1 をおろします.
1 × −2 = −2 → −4.−4 × −2 = 8 → 8.8 × −2 = −16 → −20.
商 x² − 4x + 8、余り −20 です.

組み立て除法の解き方例

x³ − 2x² − 4 を x − 3 で割るには？

商 x² + x + 3、余り 5 です. 係数は 1, −2, 0, −4、c = 3 です.1 をおろします.1 × 3 = 3、−2 に足す → 1.1 × 3 = 3、0 に足す → 3.3 × 3 = 9、−4 に足す → 5.余り 5 は P(3) に等しく、余りの定理を確認します.

余りは因数について何を教える？

組み立て除法の余りが 0 なら、x − c は多項式の因数です. (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1) では余り 0 なので x − 1 は割り切れ、x = 1 は根です.これが因数定理で、組み立て除法を素早い根のテストにします.

組み立て除法のよくあるミス

組み立て除法では5つのよくある誤りがあります.

• c の符号を間違えること — x + 2 では c = −2 にしなければなりません.
• 欠けた次数の係数 0 を省略し、すべての結果がずれること.
• 各列で引き算する代わりに足し算すること（組み立て除法は足します）.
• 非線形除数に組み立て除法を適用すること（使えません）.
• 余りではなく最後の数を商の係数として読むこと.

組み立て除法電卓は c の正しい符号を設定し、プレースホルダを挿入し、商の係数と余りを分けます.

よくある質問