Calculatrice de division synthétique

Comment utiliser la calculatrice de division synthétique

Pour exécuter une division synthétique, suivez ces 4 étapes :

• Saisissez les coefficients du dividende dans l'ordre, en utilisant 0 pour toute puissance manquante.
• Saisissez la valeur c du diviseur x − c (utilisez c = −2 pour x + 2).
• Cliquez sur Calculer pour abaisser, multiplier par c et additionner en ligne.
• Lisez les coefficients du quotient et le reste final.

Le diviseur doit être linéaire, x − c. Pour x + 2, définissez c = −2, car x + 2 = x − (−2).

Division synthétique et division posée

La division synthétique est un raccourci de la division posée de polynômes qui ne fonctionne que lorsque le diviseur est linéaire, x − c. Elle remplace la disposition complète diviser–multiplier–soustraire par un tableau compact de coefficients, transformant la soustraction en addition en utilisant c directement plutôt que tout le diviseur. Elle est étroitement liée au théorème du reste : le reste égale P(c), la valeur du polynôme en c. Si ce reste est 0, alors x − c est un facteur du polynôme, ce qui est le théorème du facteur. La calculatrice de division synthétique rend cette évaluation rapide et ce test de factorisation faciles.

Comment fonctionne la division synthétique

La calculatrice divise par x − c au moyen de cinq actions internes :

• Liste les coefficients du dividende par ordre décroissant, avec des zéros pour les puissances manquantes.
• Abaisse le coefficient dominant inchangé comme premier coefficient du quotient.
• Multiplie la valeur venant d'être écrite par c et l'additionne au coefficient suivant.
• Répète multiplier-et-additionner sur chaque coefficient.
• Lit tous les résultats sauf le dernier comme coefficients du quotient et le dernier comme reste.

Le quotient a un degré inférieur d'un au dividende, et le reste est une constante égale à P(c).

Formule et théorème du reste

La calculatrice de division synthétique utilise l'identité de division P(x) = (x − c)·Q(x) + r, où le reste r est une constante. Le théorème du reste énonce r = P(c), et le théorème du facteur ajoute que r = 0 signifie que x − c est un facteur. Pour P(x) = x³ − 2x² − 4 divisé par x − 3, la division synthétique donne r = P(3) = 5.

Problèmes d'exemple de division synthétique

Ces exemples divisent par un facteur linéaire en utilisant multiplier-et-additionner.

Exemple 1 — (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1)

1. Coefficients 2, 3, −5 avec c = 1 ; abaissez 2.
2. 2 × 1 = 2, additionnez à 3 → 5 ; 5 × 1 = 5, additionnez à −5 → 0.
3. Quotient 2x + 5, reste 0, donc x − 1 est un facteur.

Exemple 2 — Terme manquant : (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Coefficients 1, 0, 0, −8 avec c = 2 ; abaissez 1.
2. 1 × 2 = 2 → 2 ; 2 × 2 = 4 → 4 ; 4 × 2 = 8 → 0.
3. Quotient x² + 2x + 4, reste 0.

Exemple 3 — Diviseur x + 2 : (x³ − 2x² − 4) ÷ (x + 2)

1. Utilisez c = −2 ; coefficients 1, −2, 0, −4 ; abaissez 1.
2. 1 × −2 = −2 → −4 ; −4 × −2 = 8 → 8 ; 8 × −2 = −16 → −20.
3. Quotient x² − 4x + 8, reste −20.

Coefficients 2, 3, −5 avec c = 1 ; abaissez 2.
2 × 1 = 2, additionnez à 3 → 5 ; 5 × 1 = 5, additionnez à −5 → 0.
Quotient 2x + 5, reste 0, donc x − 1 est un facteur.

Coefficients 1, 0, 0, −8 avec c = 2 ; abaissez 1.
1 × 2 = 2 → 2 ; 2 × 2 = 4 → 4 ; 4 × 2 = 8 → 0.
Quotient x² + 2x + 4, reste 0.

Utilisez c = −2 ; coefficients 1, −2, 0, −4 ; abaissez 1.
1 × −2 = −2 → −4 ; −4 × −2 = 8 → 8 ; 8 × −2 = −16 → −20.
Quotient x² − 4x + 8, reste −20.

Problèmes de division synthétique résolus

Comment diviser x³ − 2x² − 4 par x − 3 ?

Quotient x² + x + 3, reste 5. Les coefficients sont 1, −2, 0, −4 avec c = 3. Abaissez 1 ; 1 × 3 = 3, additionnez à −2 → 1 ; 1 × 3 = 3, additionnez à 0 → 3 ; 3 × 3 = 9, additionnez à −4 → 5. Le reste 5 égale P(3), confirmant le théorème du reste.

Comment le reste indique-t-il des facteurs ?

Si le reste de la division synthétique est 0, alors x − c est un facteur du polynôme. Pour (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1), le reste est 0, donc x − 1 le divise exactement et x = 1 est une racine. C'est le théorème du facteur, et cela fait de la division synthétique un outil rapide pour tester les racines.

Erreurs fréquentes en division synthétique

La division synthétique produit 5 erreurs fréquentes :

• Utiliser c avec le mauvais signe — pour x + 2, vous devez utiliser c = −2.
• Omettre un coefficient nul pour une puissance manquante, ce qui décale chaque résultat.
• Soustraire au lieu d'additionner dans chaque colonne.
• Appliquer la division synthétique à un diviseur non linéaire, où elle ne fonctionne pas.
• Lire le dernier nombre comme un coefficient du quotient au lieu du reste.

La calculatrice de division synthétique définit le signe correct pour c, insère les termes nuls et sépare les coefficients du quotient du reste.

Questions frequentes