Calculadora de división sintética

Cómo usar la calculadora de división sintética

Para ejecutar la división sintética, sigue estos 4 pasos:

• Introduce los coeficientes del dividendo en orden, usando 0 para cualquier potencia que falte.
• Introduce el valor c del divisor x − c (usa c = −2 para x + 2).
• Haz clic en Calcular para bajar, multiplicar por c y sumar en fila.
• Lee los coeficientes del cociente y el resto final.

El divisor debe ser lineal, x − c. Para x + 2, establece c = −2, porque x + 2 = x − (−2).

División sintética frente a división larga

La división sintética es un atajo de la división larga de polinomios que solo funciona cuando el divisor es lineal, x − c. Sustituye la disposición completa de dividir, multiplicar y restar por una tabla compacta de coeficientes, convirtiendo la resta en suma al usar c directamente en lugar de todo el divisor. Está estrechamente ligada al teorema del resto: el resto es igual a P(c), el valor del polinomio en c. Si ese resto es 0, entonces x − c es un factor del polinomio, que es el teorema del factor. La calculadora de división sintética facilita esta evaluación rápida y la prueba de factorización.

Cómo funciona la división sintética

La calculadora divide entre x − c mediante cinco acciones internas:

• Lista los coeficientes del dividendo en orden decreciente, con ceros para las potencias que falten.
• Baja el coeficiente principal sin cambios como primer coeficiente del cociente.
• Multiplica el valor recién escrito por c y lo suma al siguiente coeficiente.
• Repite multiplicar y sumar a lo largo de cada coeficiente.
• Lee todos los resultados salvo el último como coeficientes del cociente y el último como resto.

El cociente tiene un grado menos que el dividendo, y el resto es una constante igual a P(c).

Fórmula y teorema del resto

La calculadora de división sintética usa la identidad de división P(x) = (x − c)·Q(x) + r, donde el resto r es una constante. El teorema del resto establece r = P(c), y el teorema del factor añade que r = 0 significa que x − c es un factor. Para P(x) = x³ − 2x² − 4 dividido entre x − 3, la división sintética da r = P(3) = 5.

Problemas de ejemplo de división sintética

Estos ejemplos dividen entre un factor lineal usando multiplicar y sumar.

Ejemplo 1 — (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1)

1. Coeficientes 2, 3, −5 con c = 1; baja 2.
2. 2 × 1 = 2, suma a 3 → 5; 5 × 1 = 5, suma a −5 → 0.
3. Cociente 2x + 5, resto 0, así x − 1 es un factor.

Ejemplo 2 — Término que falta: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Coeficientes 1, 0, 0, −8 con c = 2; baja 1.
2. 1 × 2 = 2 → 2; 2 × 2 = 4 → 4; 4 × 2 = 8 → 0.
3. Cociente x² + 2x + 4, resto 0.

Ejemplo 3 — Divisor x + 2: (x³ − 2x² − 4) ÷ (x + 2)

1. Usa c = −2; coeficientes 1, −2, 0, −4; baja 1.
2. 1 × −2 = −2 → −4; −4 × −2 = 8 → 8; 8 × −2 = −16 → −20.
3. Cociente x² − 4x + 8, resto −20.

Coeficientes 2, 3, −5 con c = 1; baja 2.
2 × 1 = 2, suma a 3 → 5; 5 × 1 = 5, suma a −5 → 0.
Cociente 2x + 5, resto 0, así x − 1 es un factor.

Coeficientes 1, 0, 0, −8 con c = 2; baja 1.
1 × 2 = 2 → 2; 2 × 2 = 4 → 4; 4 × 2 = 8 → 0.
Cociente x² + 2x + 4, resto 0.

Usa c = −2; coeficientes 1, −2, 0, −4; baja 1.
1 × −2 = −2 → −4; −4 × −2 = 8 → 8; 8 × −2 = −16 → −20.
Cociente x² − 4x + 8, resto −20.

Problemas de división sintética resueltos

¿Cómo divides x³ − 2x² − 4 entre x − 3?

Cociente x² + x + 3, resto 5. Los coeficientes son 1, −2, 0, −4 con c = 3. Baja 1; 1 × 3 = 3, suma a −2 → 1; 1 × 3 = 3, suma a 0 → 3; 3 × 3 = 9, suma a −4 → 5. El resto 5 es igual a P(3), confirmando el teorema del resto.

¿Cómo te dice el resto si hay factores?

Si el resto de la división sintética es 0, entonces x − c es un factor del polinomio. Para (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1), el resto es 0, así x − 1 lo divide exactamente y x = 1 es una raíz. Este es el teorema del factor, y convierte la división sintética en una herramienta rápida para probar raíces.

Errores frecuentes en la división sintética

La división sintética produce 5 errores frecuentes:

• Usar c con el signo equivocado — para x + 2 debes usar c = −2.
• Omitir un coeficiente cero para una potencia que falta, lo que desplaza cada resultado.
• Restar en lugar de sumar en cada columna.
• Aplicar división sintética a un divisor no lineal, donde no funciona.
• Leer el último número como coeficiente del cociente en lugar de como resto.

La calculadora de división sintética establece el signo correcto para c, inserta marcadores de posición y separa los coeficientes del cociente del resto.

Preguntas frecuentes