Calculadora de divisão longa com números complexos

Como usar a Calculadora de Divisão Longa com Números Complexos

Para dividir números complexos, siga estes 4 passos:

• Digite o dividendo em forma a + bi (por exemplo, 3 + 2i).
• Digite o divisor em forma c + di (por exemplo, 1 − i).
• Clique em Calcular para multiplicar pelo conjugado e simplificar.
• Leia a parte real e a parte imaginária do quociente com cada passo mostrado.

A calculadora forma automaticamente o conjugado do divisor, então você só digita os dois números complexos e lê a resposta em forma a + bi.

Por que a divisão complexa usa o conjugado

Um número complexo a + bi tem parte real a e parte imaginária b, onde i² = −1. Você não pode deixar um número imaginário no denominador, então a divisão complexa o racionaliza. O conjugado de c + di é c − di, e multiplicar um número complexo pelo seu conjugado dá c² + d², um número real, porque os termos cruzados imaginários se cancelam. A Calculadora de Divisão Longa com Números Complexos usa isso para converter um divisor complexo em um real, após o que cada parte do quociente é uma divisão real simples.

Como funciona a divisão de números complexos

A calculadora produz o quociente em forma a + bi por meio de cinco ações internas:

• Forma o conjugado do divisor invertendo o sinal da parte imaginária.
• Multiplica numerador e divisor por esse conjugado.
• Expande o numerador com a regra FOIL, substituindo i² por −1.
• Simplifica o denominador para o valor real c² + d².
• Divide as partes real e imaginária do numerador por esse denominador real.

Quando o denominador é real, encontrar cada parte do quociente é divisão comum, então a resposta se resolve claramente em forma a + bi.

Fórmula da divisão complexa

A Calculadora de Divisão Longa com Números Complexos usa (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²), que se expande para [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²). O denominador c² + d² é o módulo ao quadrado do divisor. Para (3 + 2i) ÷ (1 − i), o denominador é 1² + (−1)² = 2.

Problemas de exemplo com números complexos

Estes exemplos mostram multiplicação pelo conjugado e separação das partes real e imaginária.

Exemplo 1 — (3 + 2i) ÷ (1 − i)

1. Multiplique em cima e embaixo pelo conjugado 1 + i.
2. Numerador: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; denominador: 1² + 1² = 2.
3. Então (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Exemplo 2 — Dividir por número real: (4 + 6i) ÷ 2

1. O divisor 2 já é real, então não precisa de conjugado.
2. Divida cada parte por 2: 4/2 = 2 e 6/2 = 3.
3. Então (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Exemplo 3 — Dividir por imaginário puro: (2 + 3i) ÷ i

1. O conjugado de i é −i; multiplique em cima e embaixo por −i.
2. Numerador: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; denominador: i × −i = 1.
3. Então (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Multiplique em cima e embaixo pelo conjugado 1 + i.
Numerador: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; denominador: 1² + 1² = 2.
Então (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

O divisor 2 já é real, então não precisa de conjugado.
Divida cada parte por 2: 4/2 = 2 e 6/2 = 3.
Então (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

O conjugado de i é −i; multiplique em cima e embaixo por −i.
Numerador: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; denominador: i × −i = 1.
Então (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Problemas complexos resolvidos

Como você divide (5 + i) por (2 + 3i)?

(5 + i) ÷ (2 + 3i) = 1 − i. Multiplique em cima e embaixo pelo conjugado 2 − 3i. Numerador: (5 + i)(2 − 3i) = 10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13i. Denominador: 2² + 3² = 13. Dividindo obtém-se 13/13 − 13/13 i = 1 − i.

Por que o denominador vira um número real?

Multiplicar c + di pelo seu conjugado c − di dá c² + d², que não tem i. Os termos cruzados +cdi e −cdi se cancelam, e −d²i² vira +d² porque i² = −1. É por isso que o conjugado é o multiplicador certo: elimina a parte imaginária do denominador para que o quociente possa ser escrito em forma a + bi.

Erros comuns na divisão complexa

A divisão de números complexos produz 5 erros frequentes:

• Multiplicar pelo divisor em vez do seu conjugado.
• Esquecer que i² = −1 ao expandir o numerador.
• Trocar o sinal da parte real em vez da imaginária no conjugado.
• Dividir só uma parte do numerador pelo denominador real.
• Deixar um número imaginário no denominador em vez de racionalizá-lo.

A Calculadora de Divisão Longa com Números Complexos forma o conjugado correto e substitui i² = −1 automaticamente, então ambas as partes do quociente ficam exatas.

Perguntas frequentes