حاسبة القسمة التركيبية

كيف تستخدم حاسبة القسمة التركيبية

لتشغيل القسمة التركيبية، اتبع هذه الخطوات الأربع:

• أدخل معاملات المقسوم بالترتيب، استخدم 0 لأي قوة ناقصة.
• أدخل قيمة c من المقسوم عليه x − c (استخدم c = −2 لـ x + 2).
• انقر احسب للإنزال والضرب في c والجمع عبر الصف.
• اقرأ معاملات الناتج والباقي النهائي.

يجب أن يكون المقسوم عليه خطياً x − c. لـ x + 2، ضع c = −2، لأن x + 2 = x − (−2).

التركيبية مقابل القسمة الطويلة

القسمة التركيبية اختصار للقسمة الطويلة لكثيرات الحدود يعمل فقط عندما يكون المقسوم عليه خطياً x − c. تستبدل تخطيط القسمة–الضرب–الطرح الكامل بجدول مضغوط للمعاملات، وتحوّل الطرح إلى جمع باستخدام c مباشرة بدلاً من المقسوم عليه كاملاً. مرتبطة بمبرهنة الباقي: الباقي يساوي P(c)، قيمة كثير الحدود عند c. إن كان الباقي 0، فـ x − c عامل، وهذا مبرهنة العوامل. حاسبة القسمة التركيبية تسهّل هذا التقييم السريع واختبار التحليل.

كيف تعمل القسمة التركيبية

الحاسبة تقسم على x − c عبر خمس إجراءات داخلية:

• تسرد معاملات المقسوم تنازلياً، مع أصفار للقوى الناقصة.
• تنزل المعامل الأول دون تغيير كأول معامل ناتج.
• تضرب القيمة المكتوبة للتو في c وتضيفها للمعامل التالي.
• تكرر الضرب والإضافة عبر كل معامل.
• تقرأ كل النتائج ما عدا الأخيرة كمعاملات ناتج والأخيرة كباقٍ.

درجة الناتج أقل بدرجة واحدة من المقسوم، والباقي ثابت يساوي P(c).

الصيغة ومبرهنة الباقي

حاسبة القسمة التركيبية تستخدم هوية القسمة P(x) = (x − c)·Q(x) + r، حيث الباقي r ثابت. مبرهنة الباقي ينص r = P(c)، ومبرهنة العوامل يضيف أن r = 0 يعني x − c عامل. لـ P(x) = x³ − 2x² − 4 مقسوماً على x − 3، القسمة التركيبية تعطي r = P(3) = 5.

مسائل مثال للقسمة التركيبية

هذه الأمثلة تقسم على عامل خطي بالضرب والإضافة.

مثال 1 — (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1)

1. معاملات 2، 3، −5 مع c = 1؛ أنزل 2.
2. 2 × 1 = 2، أضف إلى 3 → 5؛ 5 × 1 = 5، أضف إلى −5 → 0.
3. ناتج 2x + 5، باقٍ 0، إذن x − 1 عامل.

مثال 2 — حد ناقص: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. معاملات 1، 0، 0، −8 مع c = 2؛ أنزل 1.
2. 1 × 2 = 2 → 2؛ 2 × 2 = 4 → 4؛ 4 × 2 = 8 → 0.
3. ناتج x² + 2x + 4، باقٍ 0.

مثال 3 — مقسوم عليه x + 2: (x³ − 2x² − 4) ÷ (x + 2)

1. استخدم c = −2؛ معاملات 1، −2، 0، −4؛ أنزل 1.
2. 1 × −2 = −2 → −4؛ −4 × −2 = 8 → 8؛ 8 × −2 = −16 → −20.
3. ناتج x² − 4x + 8، باقٍ −20.

معاملات 2، 3، −5 مع c = 1؛ أنزل 2.
2 × 1 = 2، أضف إلى 3 → 5؛ 5 × 1 = 5، أضف إلى −5 → 0.
ناتج 2x + 5، باقٍ 0، إذن x − 1 عامل.

معاملات 1، 0، 0، −8 مع c = 2؛ أنزل 1.
1 × 2 = 2 → 2؛ 2 × 2 = 4 → 4؛ 4 × 2 = 8 → 0.
ناتج x² + 2x + 4، باقٍ 0.

استخدم c = −2؛ معاملات 1، −2، 0، −4؛ أنزل 1.
1 × −2 = −2 → −4؛ −4 × −2 = 8 → 8؛ 8 × −2 = −16 → −20.
ناتج x² − 4x + 8، باقٍ −20.

مسائل تركيبية محلولة

كيف تقسم x³ − 2x² − 4 على x − 3؟

ناتج x² + x + 3، باقٍ 5. المعاملات 1، −2، 0، −4 مع c = 3. أنزل 1؛ 1 × 3 = 3، أضف إلى −2 → 1؛ 1 × 3 = 3، أضف إلى 0 → 3؛ 3 × 3 = 9، أضف إلى −4 → 5. الباقي 5 يساوي P(3)، يؤكد مبرهنة الباقي.

كيف يخبرك الباقي عن العوامل؟

إن كان باقي القسمة التركيبية 0، فـ x − c عامل لكثير الحدود. لـ (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1)، الباقي 0، فـ x − 1 يقسمه بالضبط وx = 1 جذر. هذا مبرهنة العوامل، ويجعل القسمة التركيبية أداة سريعة لاختبار الجذور.

أخطاء شائعة في القسمة التركيبية

القسمة التركيبية تُنتج 5 أخطاء متكررة:

• استخدام c بإشارة خاطئة — لـ x + 2 يجب c = −2.
• حذف معامل صفر لقوة ناقصة، فيُزيح كل نتيجة.
• الطرح بدلاً من الجمع في كل عمود.
• تطبيق القسمة التركيبية على مقسوم عليه غير خطي، حيث لا تعمل.
• قراءة الرقم الأخير كمعامل ناتج بدلاً من الباقي.

حاسبة القسمة التركيبية تضبط إشارة c الصحيحة، تُدرج عناصر نائبة، وتفصل معاملات الناتج عن الباقي.

الأسئلة الشائعة