Kalkylator för syntetisk division

Så använder du kalkylatorn för syntetisk division

För att köra syntetisk division, följ dessa 4 steg:

• Ange dividendens koefficienter i ordning och använd 0 för saknad potens.
• Ange värdet c från divisorn x − c (använd c = −2 för x + 2).
• Klicka på Beräkna för att för ner, multiplicera med c och addera över.
• Läs kvotkoefficienterna och slutresten.

Divisorn måste vara linjär, x − c. För x + 2, sätt c = −2, eftersom x + 2 = x − (−2).

Syntetisk kontra långdivision

Syntetisk division är en genväg för polynomisk långdivision som bara fungerar när divisorn är linjär, x − c. Den ersätter hela layouten dela–multiplicera–subtrahera med en kompakt tabell av koefficienter och förvandlar subtraktion till addition genom att använda c direkt i stället för hela divisorn. Den är nära kopplad till restteoremet: resten lika P(c), värdet av polynomet vid c. Om den resten är 0 är x − c en faktor av polynomet, vilket är faktorteoremet. Kalkylatorn för syntetisk division gör detta snabba utvärderings- och faktoreringstest enkelt.

Hur syntetisk division fungerar

Kalkylatorn dividerar med x − c genom fem interna åtgärder:

• Listar dividendens koefficienter i fallande ordning, med nollor för saknade potenser.
• För ner ledande koefficient oförändrad som första kvotkoefficient.
• Multiplicerar det nyss skrivna värdet med c och adderar till nästa koefficient.
• Upprepar multiplicera-och-addera över varje koefficient.
• Läser alla utom sista resultatet som kvotkoefficienter och sista som rest.

Kvoten har grad ett mindre än dividend, och resten är en konstant lika P(c).

Formel och restteoremet

Kalkylatorn för syntetisk division använder divisionsidentiteten P(x) = (x − c)·Q(x) + r, där resten r är en konstant. Restteoremet säger r = P(c), och faktorteoremet tillägger att r = 0 betyder att x − c är en faktor. För P(x) = x³ − 2x² − 4 dividerat med x − 3 ger syntetisk division r = P(3) = 5.

Exempelproblem med syntetisk division

Dessa exempel dividerar med linjär faktor med multiplicera-och-addera.

Exempel 1 — (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1)

1. Koefficienter 2, 3, −5 med c = 1; för ner 2.
2. 2 × 1 = 2, addera till 3 → 5; 5 × 1 = 5, addera till −5 → 0.
3. Kvot 2x + 5, rest 0, så x − 1 är en faktor.

Exempel 2 — Saknad term: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Koefficienter 1, 0, 0, −8 med c = 2; för ner 1.
2. 1 × 2 = 2 → 2; 2 × 2 = 4 → 4; 4 × 2 = 8 → 0.
3. Kvot x² + 2x + 4, rest 0.

Exempel 3 — Divisor x + 2: (x³ − 2x² − 4) ÷ (x + 2)

1. Använd c = −2; koefficienter 1, −2, 0, −4; för ner 1.
2. 1 × −2 = −2 → −4; −4 × −2 = 8 → 8; 8 × −2 = −16 → −20.
3. Kvot x² − 4x + 8, rest −20.

Koefficienter 2, 3, −5 med c = 1; för ner 2.
2 × 1 = 2, addera till 3 → 5; 5 × 1 = 5, addera till −5 → 0.
Kvot 2x + 5, rest 0, så x − 1 är en faktor.

Koefficienter 1, 0, 0, −8 med c = 2; för ner 1.
1 × 2 = 2 → 2; 2 × 2 = 4 → 4; 4 × 2 = 8 → 0.
Kvot x² + 2x + 4, rest 0.

Använd c = −2; koefficienter 1, −2, 0, −4; för ner 1.
1 × −2 = −2 → −4; −4 × −2 = 8 → 8; 8 × −2 = −16 → −20.
Kvot x² − 4x + 8, rest −20.

Genomräknade syntetiska divisionsproblem

Hur dividerar du x³ − 2x² − 4 med x − 3?

Kvot x² + x + 3, rest 5. Koefficienter är 1, −2, 0, −4 med c = 3. För ner 1; 1 × 3 = 3, addera till −2 → 1; 1 × 3 = 3, addera till 0 → 3; 3 × 3 = 9, addera till −4 → 5. Resten 5 lika P(3), vilket bekräftar restteoremet.

Hur berättar resten om faktorer?

Om resten från syntetisk division är 0 är x − c en faktor av polynomet. För (2x² + 3x − 5) ÷ (x − 1) är resten 0, så x − 1 delar det exakt och x = 1 är en rot. Detta är faktorteoremet, och det gör syntetisk division till ett snabbt rot-testverktyg.

Vanliga fel vid syntetisk division

Syntetisk division ger 5 frekventa fel:

• Använda c med fel tecken — för x + 2 måste du använda c = −2.
• Utelämna nollkoefficient för saknad potens, vilket skiftar varje resultat.
• Subtrahera i stället för att addera ned varje kolumn.
• Tillämpa syntetisk division på en icke-linjär divisor, där det inte fungerar.
• Läsa det sista talet som kvotkoefficient i stället för rest.

Kalkylatorn för syntetisk division sätter rätt tecken för c, infogar platshållare och separerar kvotkoefficienter från resten.

Vanliga fragor