Schriftliche-Division-Rechner mit Variablen

So verwenden Sie den Langdivisionsrechner mit Variablen

Um algebraische Ausdrücke zu teilen, folgen Sie diesen 4 Schritten:

• Geben Sie den Dividenden, etwa x² + 5x + 6, in das erste Feld ein.
• Geben Sie den Divisor, etwa x + 2, in das zweite Feld ein.
• Klicken Sie auf Berechnen, um Term für Term zu teilen.
• Lesen Sie den Quotienten, den Rest und jeden angezeigten Schritt.

Schreiben Sie fehlende Potenzen mit Koeffizient 0, etwa x² + 0x − 4, damit der Rechner jede Spalte gleichartiger Terme ausgerichtet hält.

Teilen mit Variablen

Ein Variablenausdruck besteht aus Termen, jeder ein Koeffizient mal eine Potenz der Variable. Die Division von Ausdrücken spiegelt die Zahlendivision, weil der Stellenwert durch die Potenz der Variable ersetzt wird: die höchste Potenz übernimmt die Rolle der linken Ziffer. Sie arbeiten stets von der höchsten Potenz abwärts und teilen den führenden Term des aktuellen Dividenden durch den führenden Term des Divisors, um den nächsten Quotiententerm zu erhalten. Der Langdivisionsrechner mit Variablen wendet die Exponentenquotientenregel an und hält gleichartige Terme in derselben Spalte, sodass die Subtraktion exakt bleibt.

Wie Variablen in der schriftlichen Division wirken

Der Rechner teilt Ausdrücke durch fünf interne Aktionen:

• Ordnet beide Ausdrücke von der höchsten zur niedrigsten Potenz der Variable.
• Teilt den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors mit der Regel xᵐ ÷ xⁿ = xᵐ⁻ⁿ.
• Multipliziert den gesamten Divisor mit diesem Quotiententerm.
• Subtrahiert das Produkt vom aktuellen Dividenden und hebt den führenden Term auf.
• Holt den nächsten Term herunter und wiederholt, bis der Grad des Rests unter dem des Divisors liegt.

Der Prozess endet, wenn der übrige Ausdruck einen niedrigeren Grad als der Divisor hat; dieser Überschuss ist der Rest.

Formel zum Teilen von Ausdrücken

Der Langdivisionsrechner mit Variablen nutzt die Divisionsidentität in Ausdrucksform: Dividend = Divisor × Quotient + Rest, wobei deg(Rest) < deg(Divisor). Die zentrale Termregel ist das Exponentenquotientengesetz xᵐ ÷ xⁿ = xᵐ⁻ⁿ. Für (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x + 3 bestätigt die Identität (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.

Algebra-Beispielaufgaben

Diese Beispiele teilen Ausdrücke in x Term für Term.

Beispiel 1 — Exakte Division: (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2)

1. Teile x² ÷ x = x; multipliziere x(x + 2) = x² + 2x; subtrahiere, übrig bleibt 3x + 6.
2. Teile 3x ÷ x = 3; multipliziere 3(x + 2) = 3x + 6; subtrahiere, übrig bleibt 0.
3. Also (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x + 3 ohne Rest.

Beispiel 2 — Mit Rest: (x² + 1) ÷ (x − 1)

1. Schreibe x² + 0x + 1; teile x² ÷ x = x; multipliziere x(x − 1) = x² − x; subtrahiere, übrig bleibt x + 1.
2. Teile x ÷ x = 1; multipliziere 1(x − 1) = x − 1; subtrahiere, übrig bleibt 2.
3. Also (x² + 1) ÷ (x − 1) = x + 1 mit Rest 2.

Beispiel 3 — Monom als Divisor: (6x³ + 4x²) ÷ 2x

1. Teile 6x³ ÷ 2x = 3x²; teile 4x² ÷ 2x = 2x.
2. Jeder Term teilt sich exakt, es gibt keinen Rest.
3. Also (6x³ + 4x²) ÷ 2x = 3x² + 2x.

Teile x² ÷ x = x; multipliziere x(x + 2) = x² + 2x; subtrahiere, übrig bleibt 3x + 6.
Teile 3x ÷ x = 3; multipliziere 3(x + 2) = 3x + 6; subtrahiere, übrig bleibt 0.
Also (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x + 3 ohne Rest.

Schreibe x² + 0x + 1; teile x² ÷ x = x; multipliziere x(x − 1) = x² − x; subtrahiere, übrig bleibt x + 1.
Teile x ÷ x = 1; multipliziere 1(x − 1) = x − 1; subtrahiere, übrig bleibt 2.
Also (x² + 1) ÷ (x − 1) = x + 1 mit Rest 2.

Teile 6x³ ÷ 2x = 3x²; teile 4x² ÷ 2x = 2x.
Jeder Term teilt sich exakt, es gibt keinen Rest.
Also (6x³ + 4x²) ÷ 2x = 3x² + 2x.

Durchgerechnete Algebraaufgaben

Wie teilt man 2x² + 7x + 3 durch x + 3?

(2x² + 7x + 3) ÷ (x + 3) = 2x + 1. Teile 2x² ÷ x = 2x; multipliziere 2x(x + 3) = 2x² + 6x; subtrahiere, übrig bleibt x + 3. Teile x ÷ x = 1; multipliziere 1(x + 3) = x + 3; subtrahiere, übrig bleibt 0. Probe: (x + 3)(2x + 1) = 2x² + 7x + 3.

Warum schreibt man x² + 0x − 4 mit einem Nullterm?

Ein Null-Platzhalter hält gleichartige Terme ausgerichtet, sodass die Subtraktion korrekt bleibt. Für (x² − 4) ÷ (x − 2) liefert x² + 0x − 4 eine Spalte für den fehlenden x-Term. Die Division ergibt exakt x + 2, weil (x − 2)(x + 2) = x² − 4. Ohne Platzhalter rutschen die Spalten auseinander und die Subtraktion wird falsch.

Häufige Fehler bei der Algebra-Division

Das Teilen von Ausdrücken führt zu 5 häufigen Fehlern:

• Einen Null-Platzhalter für eine fehlende Potenz vergessen, wodurch gleichartige Terme falsch ausgerichtet werden.
• Den Quotiententerm nur mit einem Teil des Divisors multiplizieren.
• Vorzeichenfehler beim Subtrahieren des Produkts vom aktuellen Dividenden.
• Exponenten addieren statt subtrahieren beim Teilen von Termen.
• Anhalten, bevor der Grad des Rests unter dem des Divisors fällt.

Der Langdivisionsrechner mit Variablen fügt Platzhalter ein, wendet die Exponentenregel an und subtrahiert jedes Produkt exakt.

Haeufige Fragen