حاسبة القسمة الطويلة مع المتغيرات

كيف تستخدم حاسبة القسمة الطويلة مع المتغيرات

لقسمة التعبيرات الجبرية، اتبع هذه الخطوات الأربع:

• أدخل تعبير المقسوم، مثل x² + 5x + 6، في الحقل الأول.
• أدخل تعبير المقسوم عليه، مثل x + 2، في الحقل الثاني.
• انقر احسب للقسمة حد بحد.
• اقرأ التعبير الناتج والباقي وكل خطوة معروضة.

اكتب القوى الناقصة بمعامل صفر، مثل x² + 0x − 4، حتى تحافظ الحاسبة على محاذاة كل عمود حدود متشابهة.

القسمة بالمتغيرات

التعبير المتغير مبني من حدود، كل منها معامل في قوة المتغير. قسمة التعبيرات تشبه قسمة الأعداد لأن قيمة المنازل تُستبدل بقوة المتغير: أعلى قوة تلعب دور الرقم الأيسر. تعمل دائماً من أعلى درجة إلى الأسفل، تقسم الحد الأول للمقسوم الجاري على الحد الأول للمقسوم عليه للحصول على حد الناتج التالي. حاسبة القسمة الطويلة مع المتغيرات تطبّق قاعدة حاصل قسمة الأسس وتحافظ على الحدود المتشابهة في نفس العمود ليكون الطرح دقيقاً.

كيف تعمل المتغيرات في القسمة الطويلة

الحاسبة تقسم التعبيرات عبر خمس إجراءات داخلية:

• ترتب كلا التعبيرين من أعلى قوة المتغير إلى الأدنى.
• تقسم الحد الأول للمقسوم على الحد الأول للمقسوم عليه بقاعدة xᵐ ÷ xⁿ = xᵐ⁻ⁿ.
• تضرب المقسوم عليه كاملاً في ذلك الحد الناتج.
• تطرح حاصل الضرب من المقسوم الجاري، مُلغية الحد الأول.
• تنزل الحد التالي وتكرر حتى درجة الباقي أقل من المقسوم عليه.

تتوقف العملية عندما يصبح التعبير المتبقي بدرجة أقل من المقسوم عليه، وذلك المتبقي هو الباقي.

صيغة قسمة التعبيرات

حاسبة القسمة الطويلة مع المتغيرات تستخدم هوية القسمة بصيغة التعبير: المقسوم = المقسوم عليه × الناتج + الباقي، حيث deg(الباقي) < deg(المقسوم عليه). قاعدة الحد الأساسية هي قانون حاصل قسمة الأسس xᵐ ÷ xⁿ = xᵐ⁻ⁿ. لـ (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x + 3، الهوية تؤكد (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.

مسائل مثال جبرية

هذه الأمثلة تقسم تعبيرات في x حد بحد.

مثال 1 — قسمة تامة: (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2)

1. اقسم x² ÷ x = x؛ اضرب x(x + 2) = x² + 2x؛ اطرح لتبقى 3x + 6.
2. اقسم 3x ÷ x = 3؛ اضرب 3(x + 2) = 3x + 6؛ اطرح لتبقى 0.
3. إذن (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x + 3 بلا باقٍ.

مثال 2 — مع باقٍ: (x² + 1) ÷ (x − 1)

1. اكتب x² + 0x + 1؛ اقسم x² ÷ x = x؛ اضرب x(x − 1) = x² − x؛ اطرح لتبقى x + 1.
2. اقسم x ÷ x = 1؛ اضرب 1(x − 1) = x − 1؛ اطرح لتبقى 2.
3. إذن (x² + 1) ÷ (x − 1) = x + 1 مع باقٍ 2.

مثال 3 — مقسوم عليه أحادي: (6x³ + 4x²) ÷ 2x

1. اقسم 6x³ ÷ 2x = 3x²؛ اقسم 4x² ÷ 2x = 2x.
2. كل حد ينقسم بالضبط، فلا باقٍ.
3. إذن (6x³ + 4x²) ÷ 2x = 3x² + 2x.

اقسم x² ÷ x = x؛ اضرب x(x + 2) = x² + 2x؛ اطرح لتبقى 3x + 6.
اقسم 3x ÷ x = 3؛ اضرب 3(x + 2) = 3x + 6؛ اطرح لتبقى 0.
إذن (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x + 3 بلا باقٍ.

اكتب x² + 0x + 1؛ اقسم x² ÷ x = x؛ اضرب x(x − 1) = x² − x؛ اطرح لتبقى x + 1.
اقسم x ÷ x = 1؛ اضرب 1(x − 1) = x − 1؛ اطرح لتبقى 2.
إذن (x² + 1) ÷ (x − 1) = x + 1 مع باقٍ 2.

اقسم 6x³ ÷ 2x = 3x²؛ اقسم 4x² ÷ 2x = 2x.
كل حد ينقسم بالضبط، فلا باقٍ.
إذن (6x³ + 4x²) ÷ 2x = 3x² + 2x.

مسائل جبرية محلولة

كيف تقسم 2x² + 7x + 3 على x + 3؟

(2x² + 7x + 3) ÷ (x + 3) = 2x + 1. اقسم 2x² ÷ x = 2x؛ اضرب 2x(x + 3) = 2x² + 6x؛ اطرح لتبقى x + 3. اقسم x ÷ x = 1؛ اضرب 1(x + 3) = x + 3؛ اطرح لتبقى 0. تحقق: (x + 3)(2x + 1) = 2x² + 7x + 3.

لماذا تكتب x² + 0x − 4 بحد صفر؟

عنصر نائب صفر يحافظ على محاذاة الحدود المتشابهة فيبقى الطرح صحيحاً. لـ (x² − 4) ÷ (x − 2)، كتابة x² + 0x − 4 تعطي عموداً للحد x الناقص. القسمة تعطي x + 2 بالضبط، لأن (x − 2)(x + 2) = x² − 4. تخطي العنصر النائب يُحاذي الأعمدة خطأ ويكسر الطرح.

أخطاء شائعة في قسمة الجبر

قسمة التعبيرات تُنتج 5 أخطاء متكررة:

• نسيان عنصر نائب صفر لقوة ناقصة، فيُحاذي الحدود المتشابهة خطأ.
• ضرب حد الناتج في جزء فقط من المقسوم عليه.
• أخطاء إشارة عند طرح حاصل الضرب من المقسوم الجاري.
• جمع الأسس بدلاً من طرحها عند قسمة الحدود.
• التوقف قبل أن تنخفض درجة الباقي عن درجة المقسوم عليه.

حاسبة القسمة الطويلة مع المتغيرات تُدرج عناصر نائبة، تطبّق قاعدة الأسس، وتطرح كل حاصل ضرب بدقة.

الأسئلة الشائعة