Polynom-Schriftliche-Division-Rechner

So verwenden Sie den Polynom-Schriftliche-Division-Rechner

Um Polynome zu teilen, folgen Sie diesen 4 Schritten:

• Geben Sie das Dividendenpolynom, z. B. 2x³ − 3x² + 4x − 5, in das erste Feld ein.
• Geben Sie das Divisorpolynom, z. B. x − 2, in das zweite Feld ein.
• Klicken Sie auf Berechnen, um absteigend Term für Term zu teilen.
• Lesen Sie das Quotientenpolynom, den Rest und jeden angezeigten Schritt.

Fügen Sie Nullkoeffizienten für fehlende Grade ein, z. B. x³ + 0x² + 0x − 8, damit der Rechner jede Potenz in einer eigenen Spalte hält.

Polynomdivision und rationale Funktionen

Ein Polynom ist eine Summe von Termen, jeder ein Koeffizient mal eine Potenz der Variable. Polynome zu teilen vereinfacht rationale Funktionen — Verhältnisse zweier Polynome — in eine passende Form. Der Grad eines Polynoms wirkt wie die Größe einer Zahl: Division läuft vom höchsten Grad abwärts. Sie endet, wenn der Rest einen niedrigeren Grad als der Divisor hat — wie ein numerischer Rest unter dem Divisor bleibt. Der Polynom-Schriftliche-Division-Rechner verwaltet Grade, Platzhalter und Vorzeichenwechsel, die das zuverlässig machen.

Wie Polynomdivision funktioniert

Der Rechner teilt Polynome durch fünf interne Aktionen:

• Schreibt beide Polynome absteigend nach Grad und füllt fehlende Potenzen mit Nullkoeffizienten.
• Teilt den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors zu einem Quotiententerm.
• Multipliziert den ganzen Divisor mit diesem Quotiententerm.
• Subtrahiert das Produkt und hebt den aktuellen führenden Term auf.
• Holt den nächsten Term herunter und wiederholt, bis der Grad des Rests unter dem des Divisors liegt.

Der Quotient ist die Summe der Term-für-Term-Ergebnisse; das übrige Polynom niedrigeren Grads ist der Rest.

Formel für Polynomdivision

Der Polynom-Schriftliche-Division-Rechner nutzt den Divisionsalgorithmus für Polynome: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x) mit deg(R) < deg(D). Äquivalent ist die rationale Funktion P(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x). Für (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3 bestätigt die Identität (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.

Polynom-Beispielaufgaben

Diese Beispiele teilen Polynome mit und ohne Rest.

Beispiel 1 — Exakte Division: (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2)

1. Teile x² ÷ x = x; multipliziere x(x − 2) = x² − 2x; subtrahiere, übrig −3x + 6.
2. Teile −3x ÷ x = −3; multipliziere −3(x − 2) = −3x + 6; subtrahiere, übrig 0.
3. Also (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Beispiel 2 — Mit Rest: (2x³ − 3x² + 0x − 4) ÷ (x − 1)

1. Teile 2x³ ÷ x = 2x²; subtrahiere 2x²(x − 1), übrig −x² + 0x − 4.
2. Teile −x² ÷ x = −x; subtrahiere −x(x − 1), übrig −x − 4; teile −x ÷ x = −1; subtrahiere, übrig −5.
3. Quotient 2x² − x − 1 mit Rest −5.

Beispiel 3 — Fehlende Potenzen: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Schreibe x³ + 0x² + 0x − 8; teile x³ ÷ x = x²; subtrahiere, übrig 2x² + 0x − 8.
2. Teile 2x² ÷ x = 2x; subtrahiere, übrig 4x − 8; teile 4x ÷ x = 4; subtrahiere, übrig 0.
3. Also (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Teile x² ÷ x = x; multipliziere x(x − 2) = x² − 2x; subtrahiere, übrig −3x + 6.
Teile −3x ÷ x = −3; multipliziere −3(x − 2) = −3x + 6; subtrahiere, übrig 0.
Also (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Teile 2x³ ÷ x = 2x²; subtrahiere 2x²(x − 1), übrig −x² + 0x − 4.
Teile −x² ÷ x = −x; subtrahiere −x(x − 1), übrig −x − 4; teile −x ÷ x = −1; subtrahiere, übrig −5.
Quotient 2x² − x − 1 mit Rest −5.

Schreibe x³ + 0x² + 0x − 8; teile x³ ÷ x = x²; subtrahiere, übrig 2x² + 0x − 8.
Teile 2x² ÷ x = 2x; subtrahiere, übrig 4x − 8; teile 4x ÷ x = 4; subtrahiere, übrig 0.
Also (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Durchgerechnete Polynomaufgaben

Wie teilt man 3x³ + 2x² − x + 5 durch x + 2?

(3x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x + 2) = 3x² − 4x + 7 mit Rest −9. Teile 3x³ ÷ x = 3x², subtrahiere zu −4x² − x; teile −4x² ÷ x = −4x, subtrahiere zu 7x + 5; teile 7x ÷ x = 7, subtrahiere zu −9. Probe: (x + 2)(3x² − 4x + 7) − 9 = 3x³ + 2x² − x + 5.

Wie vereinfacht Polynomdivision eine rationale Funktion?

Sie schreibt P(x)/D(x) als Polynom plus echten Bruch um. Für (x² + 1)/(x − 1) liefert die Division x + 1 mit Rest 2, also (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). Rest über Divisor ist der echte Bruchteil — wesentlich für Asymptoten und Integration rationaler Funktionen.

Häufige Fehler bei der Polynomdivision

Polynomdivision führt zu 5 häufigen Fehlern:

• Einen Nullkoeffizienten für einen fehlenden Grad überspringen, wodurch Terme falsch ausgerichtet werden.
• Vorzeichenfehler beim Subtrahieren des Produkts, besonders bei negativem Divisorkonstanten.
• Den Quotiententerm nur mit dem führenden Term des Divisors multiplizieren.
• Quotient oder Dividend nicht absteigend nach Grad ordnen.
• Anhalten, bevor der Grad des Rests unter dem des Divisors fällt.

Der Polynom-Schriftliche-Division-Rechner fügt Platzhalter ein, ordnet nach Grad und verfolgt jedes Vorzeichen, sodass jede Subtraktion exakt ist.

Haeufige Fragen