kgV & ggT Schriftliche-Division-Rechner

LCM & HCF calculator: enter two whole numbers to get HCF (by division) and LCM.

Output: HCF and LCM with Euclidean division steps.

Der kgV- und ggT-Rechner findet das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler mit der Divisionsmethode. Für das kgV teilt er die Zahlen gemeinsam durch gemeinsame Primfaktoren, bis nur noch 1en übrig sind, und multipliziert alle Divisoren und Übriggebliebenen. Für den ggT nutzt er sukzessive Division — größere Zahl durch kleinere, dann Divisor durch Rest — bis Rest 0 ist. Geben Sie zwei oder mehr Zahlen ein, um die Divisionsleiter, jeden Primdivisor und das finale kgV und ggT mit jedem Schritt zu sehen.

So verwenden Sie den kgV- und ggT-Rechner

Um kgV oder ggT per Division zu finden, folgen Sie diesen 4 Schritten:

Geben Sie die Zahlen, getrennt durch Leerzeichen oder Kommas, ein.
Wählen Sie kgV (gemeinsame Divisionsleiter) oder ggT (sukzessive Division).
Klicken Sie auf Berechnen, um die Divisionsmethode auszuführen.
Lesen Sie kgV oder ggT zusammen mit jedem Divisor und Rest.

Beim kgV teilen Sie weiter durch eine Primzahl, die mindestens eine Zahl teilt; beim ggT ersetzen Sie das Paar durch (Divisor, Rest), bis Rest 0 ist.

kgV und ggT per Division

Der größte gemeinsame Teiler (ggT, auch GCD) ist die größte Zahl, die alle Eingaben exakt teilt; das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, in die alle Eingaben hineingehen. Die Divisionsmethode findet beides ohne alle Teiler oder Vielfache aufzulisten. Der ggT nutzt die euklidische Idee, dass jeder gemeinsame Teiler zweier Zahlen auch ihren Rest teilt — wiederholte Division schrumpft das Problem zur Antwort. Die kgV-Leiter streift gemeinsame Primfaktoren einmal und einzigartige Faktoren, wenn sie auftauchen; deshalb rekonstruiert das Produkt aller Divisoren und Reste das kleinste gemeinsame Vielfache.

Die Division teilt eine Gesamtmenge in gleiche Gruppen. Die schriftliche Division tut dies Ziffer für Ziffer.

Divisor (32) – die Zahl, durch die Sie teilen. Setzen Sie sie links vom Winkel.

Wie kgV und ggT per schriftlicher Division funktionieren

Der Rechner findet beide Ergebnisse durch fünf interne Aktionen:

Für den ggT: teilt die größere durch die kleinere Zahl und notiert den Rest.
Ersetzt das Paar durch (vorheriger Divisor, Rest) und wiederholt, bis Rest 0.
Gibt den letzten von Null verschiedenen Divisor als ggT aus.
Für das kgV: teilt alle Zahlen gemeinsam durch eine gemeinsame Primzahl und trägt nicht teilbare Zahlen nach unten.
Setzt fort, bis jede Spalte 1 ist, und multipliziert alle Divisoren und Übriggebliebenen zum kgV.

Beide Methoden teilen die Divisionsdisziplin, lesen die Antwort aber unterschiedlich: beim ggT ist es der letzte Divisor, beim kgV das Produkt aller Divisoren.

Für den ggT: teilt die größere durch die kleinere Zahl und notiert den Rest.

kgV- und ggT-Beziehungen

Der Rechner nutzt die euklidische Regel für den ggT: ggT(a, b) = ggT(b, a mod b), bis Rest 0 ist. Er nutzt die Produktregel: kgV(a, b) × ggT(a, b) = a × b. Für 36 und 48 ist ggT = 12 und kgV = 144; die Probe lautet 144 × 12 = 36 × 48 = 1728.

Dividend

Divisor

Quotient

Rest

48 = 18 × 2 + 12 → Identität gilt

kgV- und ggT-Beispielaufgaben

Diese Beispiele zeigen sukzessive Division für den ggT und die Leiter für das kgV.

Beispiel 1 — ggT per Division: 48 und 36

Teile 48 durch 36: Quotient 1, Rest 12.
Teile 36 durch 12: Quotient 3, Rest 0.
Der letzte von Null verschiedene Divisor ist 12, also ggT(48, 36) = 12.

Beispiel 2 — kgV per Divisionsleiter: 12 und 18

Teile durch 2: 12 → 6, 18 → 9. Teile durch 3: 6 → 2, 9 → 3.
Teile durch 2: 2 → 1, 3 bleibt 3. Teile durch 3: 3 → 1.
Multipliziere die Divisoren 2 × 3 × 2 × 3 = 36, also kgV(12, 18) = 36.

Beispiel 3 — Produktregel: 15 und 20

ggT per Division: 20 ÷ 15 = 1 R5, dann 15 ÷ 5 = 3 R0, also ggT = 5.
Wende kgV × ggT = 15 × 20 = 300 an, also kgV = 300 ÷ 5 = 60.
Also ggT(15, 20) = 5 und kgV(15, 20) = 60.

Teile 48 durch 36: Quotient 1, Rest 12.
Teile 36 durch 12: Quotient 3, Rest 0.
Der letzte von Null verschiedene Divisor ist 12, also ggT(48, 36) = 12.

Durchgerechnete kgV- und ggT-Aufgaben

Wie findet man den ggT von 84 und 120 per Division?

ggT(84, 120) = 12. Teile 120 durch 84: Rest 36. Teile 84 durch 36: Rest 12. Teile 36 durch 12: Rest 0. Der letzte von Null verschiedene Divisor, 12, ist der ggT. Jeder Schritt nutzt, dass ein gemeinsamer Teiler zweier Zahlen auch ihren Rest teilt.

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Wie findet man das kgV von 8, 12 und 15?

kgV(8, 12, 15) = 120. Teile durch 2: 8 → 4, 12 → 6, 15 bleibt. Teile durch 2: 4 → 2, 6 → 3, 15 bleibt. Teile durch 2: 2 → 1, 3 und 15 bleiben. Teile durch 3: 3 → 1, 15 → 5. Teile durch 5: 5 → 1. Multipliziere 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120.

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Häufige kgV- und ggT-Fehler

Die Divisionsmethode führt zu 5 häufigen Fehlern:

Den letzten Rest statt den letzten von Null verschiedenen Divisor als ggT angeben.
Nur gemeinsame Divisoren multiplizieren und Übriggebliebenes für das kgV vergessen.
Durch eine nicht-prime Zahl teilen und Faktoren doppelt zählen.
Die kgV-Leiter stoppen, bevor jede Spalte 1 erreicht.
Ergebnisse vertauschen — kgV statt ggT angeben oder umgekehrt.

Der kgV- und ggT-Rechner verfolgt jeden Divisor und Rest und meldet die korrekte Antwort für Ihre Anfrage.

Den letzten Rest statt den letzten von Null verschiedenen Divisor als ggT angeben.

Nur gemeinsame Divisoren multiplizieren und Übriggebliebenes für das kgV vergessen.

Durch eine nicht-prime Zahl teilen und Faktoren doppelt zählen.

Die kgV-Leiter stoppen, bevor jede Spalte 1 erreicht.

Ergebnisse vertauschen — kgV statt ggT angeben oder umgekehrt.

Haeufige Fragen

Wie findet man den ggT mit der schriftlichen Divisionsmethode?

Teilen Sie die größere durch die kleinere Zahl und notieren Sie den Rest, dann den vorherigen Divisor durch diesen Rest, bis Rest 0 ist. Der letzte von Null verschiedene Divisor ist der ggT.

Wie findet man das kgV mit der Divisionsmethode?

Schreiben Sie die Zahlen in eine Zeile und teilen Sie gemeinsam durch eine gemeinsame Primzahl; Zahlen, die sie nicht teilt, tragen Sie nach unten. Weiter bis alle 1 sind, dann alle Divisoren multiplizieren.

Was ist der Unterschied zwischen kgV und ggT?

Der ggT ist die größte Zahl, die alle Eingaben teilt; das kgV die kleinste, in die alle hineingehen. Für 12 und 18 ist ggT = 6 und kgV = 36.

Wie hängen kgV und ggT zusammen?

Für zwei Zahlen gilt kgV × ggT = Produkt der Zahlen. Hat man eines, findet man das andere: kgV = (a × b) ÷ ggT.

Warum ist der letzte von Null verschiedene Divisor der ggT?

Jeder gemeinsame Teiler zweier Zahlen teilt auch ihren Rest — gemeinsame Teiler bleiben bei jedem Divisionsschritt erhalten. Bei Rest 0 teilt der aktuelle Divisor beide exakt.

Kann ich den ggT von mehr als zwei Zahlen finden?

Ja. Finden Sie den ggT der ersten beiden, dann den ggT dieses Ergebnisses mit der nächsten Zahl usw. Das Endergebnis ist der ggT aller.

Muss ich beim kgV durch Primzahlen teilen?

Ja, Primzahlen in der Leiter vermeiden Doppelzählung und liefern das korrekte kgV. Ein zusammengesetzter Divisor kann noch benötigte Faktoren überspringen.

Die kgV–ggT-Beziehung

Der kgV- und ggT-Rechner nutzt die euklidische Regel ggT(a, b) = ggT(b, a mod b) und die Produktregel kgV(a, b) × ggT(a, b) = a × b. Für 48 und 36 ist ggT = 12 und kgV = 144; die Identität bestätigt 144 × 12 = 48 × 36 = 1728.