Calculatrice PPCM et PGCD par la méthode de la division

Comment utiliser la calculatrice PPCM et PGCD par la méthode de la division

Pour trouver le PPCM ou le PGCD par division, suivez ces 4 étapes :

• Saisissez les nombres à traiter, séparés par des espaces ou des virgules.
• Choisissez PPCM (échelle de division commune) ou PGCD (division successive).
• Cliquez sur Calculer pour lancer la méthode de division.
• Lisez le PPCM ou le PGCD avec chaque diviseur et reste affichés.

Pour le PPCM, continuez de diviser par un premier qui divise au moins un nombre ; pour le PGCD, remplacez la paire par (diviseur, reste) jusqu'à ce que le reste soit 0.

PPCM et PGCD par division

Le plus grand commun diviseur (PGCD, aussi appelé GCD) est le plus grand nombre qui divise exactement chaque entrée, et le plus petit commun multiple (PPCM) est le plus petit nombre dans lequel chaque entrée se divise. La méthode de division les trouve sans lister tous les facteurs ou multiples. Le PGCD utilise l'idée euclidienne qu'un facteur commun de deux nombres divise aussi leur reste, si bien que la division répétée réduit le problème à la réponse. L'échelle PPCM extrait les facteurs premiers communs une fois et les facteurs uniques au fur et à mesure, ce qui explique pourquoi multiplier les diviseurs et restes reconstruit le plus petit commun multiple.

Comment fonctionnent PPCM et PGCD par division posée

La calculatrice trouve les deux résultats au moyen de cinq actions internes :

• Pour le PGCD, divise le plus grand nombre par le plus petit et enregistre le reste.
• Remplace la paire par (diviseur précédent, reste) et répète jusqu'à ce que le reste soit 0.
• Indique le dernier diviseur non nul comme PGCD.
• Pour le PPCM, divise tous les nombres ensemble par un premier commun, en reportant tout nombre que le premier ne divise pas.
• Continue jusqu'à ce que chaque colonne soit 1, puis multiplie tous les diviseurs et restes éventuels pour obtenir le PPCM.

Les deux méthodes partagent la discipline de la division mais lisent la réponse différemment : le PGCD est le dernier diviseur, et le PPCM est le produit de tous les diviseurs.

Relations PPCM et PGCD

La calculatrice utilise la règle euclidienne pour le PGCD : PGCD(a, b) = PGCD(b, a mod b), en s'arrêtant lorsque le reste est 0. Elle utilise la règle du produit qui lie les deux : PPCM(a, b) × PGCD(a, b) = a × b. Pour 36 et 48, PGCD = 12 et PPCM = 144, et la vérification est 144 × 12 = 36 × 48 = 1728.

Problèmes d'exemple PPCM et PGCD

Ces exemples montrent la division successive pour le PGCD et l'échelle pour le PPCM.

Exemple 1 — PGCD par division : 48 et 36

1. Divisez 48 par 36 : quotient 1, reste 12.
2. Divisez 36 par 12 : quotient 3, reste 0.
3. Le dernier diviseur non nul est 12, donc PGCD(48, 36) = 12.

Exemple 2 — PPCM par échelle de division : 12 et 18

1. Divisez par 2 : 12 → 6, 18 → 9. Divisez par 3 : 6 → 2, 9 → 3.
2. Divisez par 2 : 2 → 1, 3 reste 3. Divisez par 3 : 3 → 1.
3. Multipliez les diviseurs 2 × 3 × 2 × 3 = 36, donc PPCM(12, 18) = 36.

Exemple 3 — Utiliser la règle du produit : 15 et 20

1. PGCD par division : 20 ÷ 15 = 1 R5, puis 15 ÷ 5 = 3 R0, donc PGCD = 5.
2. Appliquez PPCM × PGCD = 15 × 20 = 300, donc PPCM = 300 ÷ 5 = 60.
3. Donc PGCD(15, 20) = 5 et PPCM(15, 20) = 60.

Divisez 48 par 36 : quotient 1, reste 12.
Divisez 36 par 12 : quotient 3, reste 0.
Le dernier diviseur non nul est 12, donc PGCD(48, 36) = 12.

Divisez par 2 : 12 → 6, 18 → 9. Divisez par 3 : 6 → 2, 9 → 3.
Divisez par 2 : 2 → 1, 3 reste 3. Divisez par 3 : 3 → 1.
Multipliez les diviseurs 2 × 3 × 2 × 3 = 36, donc PPCM(12, 18) = 36.

PGCD par division : 20 ÷ 15 = 1 R5, puis 15 ÷ 5 = 3 R0, donc PGCD = 5.
Appliquez PPCM × PGCD = 15 × 20 = 300, donc PPCM = 300 ÷ 5 = 60.
Donc PGCD(15, 20) = 5 et PPCM(15, 20) = 60.

Problèmes PPCM et PGCD résolus

Comment trouver le PGCD de 84 et 120 par division ?

PGCD(84, 120) = 12. Divisez 120 par 84 : reste 36. Divisez 84 par 36 : reste 12. Divisez 36 par 12 : reste 0. Le dernier diviseur non nul, 12, est le PGCD. Chaque étape s'appuie sur le fait qu'un facteur commun de deux nombres divise aussi leur reste.

Comment trouver le PPCM de 8, 12 et 15 ?

PPCM(8, 12, 15) = 120. Divisez par 2 : 8 → 4, 12 → 6, 15 reste. Divisez par 2 : 4 → 2, 6 → 3, 15 reste. Divisez par 2 : 2 → 1, 3 et 15 restent. Divisez par 3 : 3 → 1, 15 → 5. Divisez par 5 : 5 → 1. Multipliez 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120.

Erreurs fréquentes PPCM et PGCD

La méthode de division produit 5 erreurs fréquentes :

• Rapporter le dernier reste au lieu du dernier diviseur non nul comme PGCD.
• Multiplier seulement les diviseurs communs et oublier les facteurs restants pour le PPCM.
• Diviser par un nombre qui n'est pas premier, ce qui compte deux fois les facteurs.
• Arrêter l'échelle PPCM avant que chaque colonne n'atteigne 1.
• Inverser les résultats — donner le PPCM lorsque le PGCD était demandé, ou l'inverse.

La calculatrice PPCM et PGCD par la méthode de la division suit chaque diviseur et reste, si bien qu'elle indique la bonne réponse selon ce que vous demandez.

Questions frequentes