Calculatrice de division posée de nombres complexes

Comment utiliser la calculatrice de division posée de nombres complexes

Pour diviser des nombres complexes, suivez ces 4 étapes :

• Saisissez le dividende sous la forme a + bi (par exemple, 3 + 2i).
• Saisissez le diviseur sous la forme c + di (par exemple, 1 − i).
• Cliquez sur Calculer pour multiplier par le conjugué et simplifier.
• Lisez la partie réelle et la partie imaginaire du quotient avec chaque étape affichée.

La calculatrice forme automatiquement le conjugué du diviseur, si bien que vous n'avez qu'à saisir les deux nombres complexes et lire la réponse a + bi.

Pourquoi la division complexe utilise le conjugué

Un nombre complexe a + bi possède une partie réelle a et une partie imaginaire b, où i² = −1. Vous ne pouvez pas laisser un nombre imaginaire au dénominateur, donc la division complexe le rationalise. Le conjugué de c + di est c − di, et multiplier un nombre complexe par son conjugué donne c² + d², un nombre réel, parce que les termes croisés imaginaires s'annulent. La calculatrice de division posée de nombres complexes s'en sert pour convertir un diviseur complexe en diviseur réel, après quoi chaque partie du quotient est une division réelle directe.

Comment fonctionne la division de nombres complexes

La calculatrice produit le quotient a + bi au moyen de cinq actions internes :

• Forme le conjugué du diviseur en inversant le signe de sa partie imaginaire.
• Multiplie le numérateur et le dénominateur par ce conjugué.
• Développe le numérateur avec la règle FOIL en remplaçant i² par −1.
• Simplifie le dénominateur à la valeur réelle c² + d².
• Divise les parties réelle et imaginaire du numérateur par ce dénominateur réel.

Une fois le dénominateur réel, trouver chaque partie du quotient relève d'une division ordinaire, si bien que la réponse se résout proprement sous la forme a + bi.

Formule de la division complexe

La calculatrice de division posée de nombres complexes utilise (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²), qui se développe en [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²). Le dénominateur c² + d² est le module au carré du diviseur. Pour (3 + 2i) ÷ (1 − i), le dénominateur vaut 1² + (−1)² = 2.

Problèmes d'exemple avec nombres complexes

Ces exemples montrent la multiplication par le conjugué et la séparation des parties réelle et imaginaire.

Exemple 1 — (3 + 2i) ÷ (1 − i)

1. Multipliez le haut et le bas par le conjugué 1 + i.
2. Numérateur : (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i ; dénominateur : 1² + 1² = 2.
3. Donc (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Exemple 2 — Diviser par un nombre réel : (4 + 6i) ÷ 2

1. Le diviseur 2 est déjà réel, donc aucun conjugué n'est nécessaire.
2. Divisez chaque partie par 2 : 4/2 = 2 et 6/2 = 3.
3. Donc (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Exemple 3 — Diviser par un imaginaire pur : (2 + 3i) ÷ i

1. Le conjugué de i est −i ; multipliez le haut et le bas par −i.
2. Numérateur : (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i ; dénominateur : i × −i = 1.
3. Donc (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Multipliez le haut et le bas par le conjugué 1 + i.
Numérateur : (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i ; dénominateur : 1² + 1² = 2.
Donc (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Le diviseur 2 est déjà réel, donc aucun conjugué n'est nécessaire.
Divisez chaque partie par 2 : 4/2 = 2 et 6/2 = 3.
Donc (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Le conjugué de i est −i ; multipliez le haut et le bas par −i.
Numérateur : (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i ; dénominateur : i × −i = 1.
Donc (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Problèmes complexes résolus

Comment diviser (5 + i) par (2 + 3i) ?

(5 + i) ÷ (2 + 3i) = 1 − i. Multipliez le haut et le bas par le conjugué 2 − 3i. Numérateur : (5 + i)(2 − 3i) = 10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13i. Dénominateur : 2² + 3² = 13. La division donne 13/13 − 13/13 i = 1 − i.

Pourquoi le dénominateur devient-il un nombre réel ?

Multiplier c + di par son conjugué c − di donne c² + d², qui ne contient pas de i. Les termes croisés +cdi et −cdi s'annulent, et −d²i² devient +d² parce que i² = −1. C'est pourquoi le conjugué est le bon multiplicateur : il élimine la partie imaginaire du dénominateur pour que le quotient s'écrive sous la forme a + bi.

Erreurs fréquentes en division complexe

La division de nombres complexes produit 5 erreurs fréquentes :

• Multiplier par le diviseur au lieu de son conjugué.
• Oublier que i² = −1 lors du développement du numérateur.
• Changer le signe de la partie réelle au lieu de la partie imaginaire dans le conjugué.
• Diviser seulement une partie du numérateur par le dénominateur réel.
• Laisser un nombre imaginaire au dénominateur au lieu de le rationaliser.

La calculatrice de division posée de nombres complexes forme le conjugué correct et substitue i² = −1 automatiquement, si bien que les deux parties du quotient sont exactes.

Questions frequentes