حاسبة الم.م.أ والق.م.أ بطريقة القسمة الطويلة

كيف تستخدم حاسبة الم.م.أ والق.م.أ

لإيجاد الم.م.أ أو الق.م.أ بالقسمة، اتبع هذه الخطوات الأربع:

• أدخل الأعداد التي تريد العمل بها، مفصولة بمسافات أو فواصل.
• اختر الم.م.أ (سلم القسمة المشترك) أو الق.م.أ (القسمة المتتالية).
• انقر احسب لتشغيل طريقة القسمة.
• اقرأ الم.م.أ أو الق.م.أ مع كل مقسوم عليه وباقٍ معروض.

للم.م.أ، استمر بالقسمة على أولي يقسم عدداً واحداً على الأقل؛ للق.م.أ، استبدل الزوج بـ (مقسوم عليه، باقٍ) حتى يصبح الباقي 0.

الم.م.أ والق.م.أ بالقسمة

القاسم المشترك الأكبر (الق.م.أ، أو GCD) هو أكبر عدد يقسم كل المدخلات بالضبط، والمضاعف المشترك الأصغر (الم.م.أ) هو أصغر عدد تقبله كل المدخلات. طريقة القسمة تجدهما دون سرد كل العوامل أو المضاعفات. الق.م.أ يستخدم فكرة خوارزمية إقليدس أن أي قاسم مشترك لعددين يقسم باقيهما، فتتقلص المسألة بالقسمة المتكررة. سلم الم.م.أ يُزيل العوامل الأولية المشتركة مرة والفريدة عند ظهورها، لذلك ضرب المقسومات عليها والباقيات يعيد أصغر مضاعف مشترك.

كيف يعمل الم.م.أ والق.م.أ بالقسمة الطويلة

الحاسبة تجد كلا النتيجتين عبر خمس إجراءات داخلية:

• للق.م.أ، تقسم العدد الأكبر على الأصغر وتسجل الباقي.
• تستبدل الزوج بـ (المقسوم عليه السابق، الباقي) وتكرر حتى الباقي 0.
• تُبلغ عن آخر مقسوم عليه غير صفري كق.م.أ.
• للم.م.أ، تقسم كل الأعداد معاً على أولي مشترك، وتُنزل أي عدد لا يقبله.
• تتابع حتى كل عمود 1، ثم تضرب كل المقسومات عليها والباقيات للحصول على الم.م.أ.

الطريقتان تتشاركان انضباط القسمة لكن تقرآن الإجابة بطريقة مختلفة: الق.م.أ هو آخر مقسوم عليه، والم.م.أ حاصل ضرب كل المقسومات عليها.

علاقات الم.م.أ والق.م.أ

الحاسبة تستخدم قاعدة خوارزمية إقليدس للق.م.أ: الق.م.أ(a, b) = الق.م.أ(b, a mod b)، مع التوقف عند الباقي 0. وتستخدم قاعدة الضرب: الم.م.أ(a, b) × الق.م.أ(a, b) = a × b. لـ 36 و48، الق.م.أ = 12 والم.م.أ = 144، والتحقق 144 × 12 = 36 × 48 = 1728.

مسائل مثال للم.م.أ والق.م.أ

هذه الأمثلة تعرض القسمة المتتالية للق.م.أ وسلم الم.م.أ.

مثال 1 — الق.م.أ بالقسمة: 48 و36

1. اقسم 48 على 36: ناتج 1، باقٍ 12.
2. اقسم 36 على 12: ناتج 3، باقٍ 0.
3. آخر مقسوم عليه غير صفري 12، إذن الق.م.أ(48, 36) = 12.

مثال 2 — الم.م.أ بسلم القسمة: 12 و18

1. اقسم على 2: 12 → 6، 18 → 9. على 3: 6 → 2، 9 → 3.
2. على 2: 2 → 1، 3 يبقى. على 3: 3 → 1.
3. اضرب المقسومات 2 × 3 × 2 × 3 = 36، إذن الم.م.أ(12, 18) = 36.

مثال 3 — استخدام قاعدة الضرب: 15 و20

1. الق.م.أ بالقسمة: 20 ÷ 15 = 1 R5، ثم 15 ÷ 5 = 3 R0، إذن الق.م.أ = 5.
2. الم.م.أ × الق.م.أ = 15 × 20 = 300، إذن الم.م.أ = 300 ÷ 5 = 60.
3. إذن الق.م.أ(15, 20) = 5 والم.م.أ(15, 20) = 60.

اقسم 48 على 36: ناتج 1، باقٍ 12.
اقسم 36 على 12: ناتج 3، باقٍ 0.
آخر مقسوم عليه غير صفري 12، إذن الق.م.أ(48, 36) = 12.

اقسم على 2: 12 → 6، 18 → 9. على 3: 6 → 2، 9 → 3.
على 2: 2 → 1، 3 يبقى. على 3: 3 → 1.
اضرب المقسومات 2 × 3 × 2 × 3 = 36، إذن الم.م.أ(12, 18) = 36.

الق.م.أ بالقسمة: 20 ÷ 15 = 1 R5، ثم 15 ÷ 5 = 3 R0، إذن الق.م.أ = 5.
الم.م.أ × الق.م.أ = 15 × 20 = 300، إذن الم.م.أ = 300 ÷ 5 = 60.
إذن الق.م.أ(15, 20) = 5 والم.م.أ(15, 20) = 60.

مسائل الم.م.أ والق.م.أ محلولة

كيف تجد الق.م.أ لـ 84 و120 بالقسمة؟

الق.م.أ(84, 120) = 12. اقسم 120 على 84: باقٍ 36. اقسم 84 على 36: باقٍ 12. اقسم 36 على 12: باقٍ 0. آخر مقسوم عليه غير صفري، 12، هو الق.م.أ. كل خطوة تستخدم أن القاسم المشترك يقسم الباقي أيضاً.

كيف تجد الم.م.أ لـ 8 و12 و15؟

الم.م.أ(8, 12, 15) = 120. على 2: 8 → 4، 12 → 6، 15 يبقى. على 2: 4 → 2، 6 → 3، 15 يبقى. على 2: 2 → 1، 3 و15 يبقيان. على 3: 3 → 1، 15 → 5. على 5: 5 → 1. اضرب 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120.

أخطاء شائعة في الم.م.أ والق.م.أ

طريقة القسمة تُنتج 5 أخطاء متكررة:

• الإبلاغ عن آخر باقٍ بدلاً من آخر مقسوم عليه غير صفري كق.م.أ.
• ضرب المقسومات المشتركة فقط ونسيان الباقيات للم.م.أ.
• القسمة على عدد غير أولي، فيُعدّ العوامل مرتين.
• إيقاف سلم الم.م.أ قبل أن يصل كل عمود إلى 1.
• تبديل النتائج — إعطاء الم.م.أ عند طلب الق.م.أ أو العكس.

حاسبة الم.م.أ والق.م.أ بطريقة القسمة الطويلة تتتبع كل مقسوم عليه وباقٍ، فتُبلغ عن الإجابة الصحيحة لما تطلبه.

الأسئلة الشائعة