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最小公倍数・最大公約数の筆算電卓

最小公倍数・最大公約数の筆算電卓

LCM & HCF calculator: enter two whole numbers to get HCF (by division) and LCM.

Output: HCF and LCM with Euclidean division steps.

Output: HCF and LCM with Euclidean division steps.

最小公倍数・最大公約数の筆算電卓は、割り算法で最小公倍数と最大公約数を求めます.最小公倍数では、共通の素因数でまとめて割り、すべてが1になるまで続け、すべての除数と残りを掛け合わせます.最大公約数では、大きい数を小さい数で割り、除数を余りで置き換えるユークリッドの互除法を、余りが0になるまで繰り返します.2つ以上の数を入力すると、除法ラダー、各素因数、最終的な最小公倍数・最大公約数と各手順が見えます.

最小公倍数・最大公約数の筆算電卓の使い方

割り算法で最小公倍数または最大公約数を求めるには、次の4つの手順に従います.

  • 対象の数を空白またはカンマ区切りで入力します.
  • 最小公倍数（共通除法ラダー）または最大公約数（ユークリッドの互除法）を選びます.
  • 計算をクリックして割り算法を実行します.
  • 最小公倍数または最大公約数と、各除数・余りを読み取ります.

最小公倍数では、少なくとも1つの数を割り切る素数で割り続けます.最大公約数では、(除数, 余り) の組に置き換え、余りが0になるまで続けます.

割り算による最小公倍数と最大公約数

最大公約数（GCD、HCFとも）はすべての入力を割り切る最大の数です.最小公倍数はすべての入力が割り切れる最小の数です.割り算法は因数や倍数をすべて列挙せずにこれらを求めます.最大公約数は、2つの数の共通因数はその余りも割るというユークリッドの考え方を使い、繰り返し除法で問題を縮小します.最小公倍数のラダーは共通素因数を一度取り除き、固有因数をそのまま残すので、除数と残りを掛けると最小の共通倍数が再構成されます.

割り算は全体を等しいグループに分けます。筆算割り算はこれを1桁ずつ行います。

除数（32）— 割る数です。囲みの左側に置きます。

筆算による最小公倍数・最大公約数の仕組み

電卓は5つの内部処理で両方の結果を求めます.

  • 最大公約数では、大きい数を小さい数で割り、余りを記録します.
  • 組を (前の除数, 余り) に置き換え、余りが0になるまで繰り返します.
  • 最後の非零除数を最大公約数として報告します.
  • 最小公倍数では、すべての数を共通素数でまとめて割り、割り切れない数は繰り下げます.
  • すべての列が1になるまで続け、すべての除数と残りを掛けて最小公倍数を得ます.

2つの方法は除法の規律を共有しますが、答えの読み方が異なります.最大公約数は最後の除数、最小公倍数はすべての除数の積です.

最大公約数では、大きい数を小さい数で割り、余りを記録します.

最小公倍数と最大公約数の関係

電卓は最大公約数にユークリッドの規則 GCD(a, b) = GCD(b, a mod b) を使い、余り0で止めます.両者を結ぶ積の規則 LCM(a, b) × GCD(a, b) = a × b も使います.36と48では、GCD = 12、LCM = 144 で、確認は 144 × 12 = 36 × 48 = 1728 です.

48 = 18 × 2 + 12 → 等式が成り立つ

最小公倍数・最大公約数の例題

これらの例は、最大公約数のユークリッドの互除法と最小公倍数のラダーを示します.

例1 — 除法による最大公約数: 48 と 36

  1. 48 ÷ 36: 商1、余り12.
  2. 36 ÷ 12: 商3、余り0.
  3. 最後の非零除数は12なので、GCD(48, 36) = 12.

例2 — 除法ラダーによる最小公倍数: 12 と 18

  1. 2で割る: 12 → 6、18 → 9.3で割る: 6 → 2、9 → 3.
  2. 2で割る: 2 → 1、3はそのまま.3で割る: 3 → 1.
  3. 除数 2 × 3 × 2 × 3 = 36 を掛けるので、LCM(12, 18) = 36.

例3 — 積の規則を使う: 15 と 20

  1. 除法でGCD: 20 ÷ 15 = 1 余り5、15 ÷ 5 = 3 余り0、GCD = 5.
  2. LCM × GCD = 15 × 20 = 300 より、LCM = 300 ÷ 5 = 60.
  3. したがって GCD(15, 20) = 5、LCM(15, 20) = 60.
48 ÷ 36: 商1、余り12.
36 ÷ 12: 商3、余り0.
最後の非零除数は12なので、GCD(48, 36) = 12.

最小公倍数・最大公約数の解き方例

除法で84と120の最大公約数を求めるには？

GCD(84, 120) = 12. 120 ÷ 84: 余り36.84 ÷ 36: 余り12.36 ÷ 12: 余り0.最後の非零除数12がGCDです.各手順で2つの数の共通因数は余りも割ります.

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8、12、15の最小公倍数を求めるには？

LCM(8, 12, 15) = 120. 2で割る: 8 → 4、12 → 6、15はそのまま.2で: 4 → 2、6 → 3、15はそのまま.2で: 2 → 1、3と15はそのまま.3で: 3 → 1、15 → 5.5で: 5 → 1.2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120.

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最小公倍数・最大公約数のよくあるミス

割り算法では5つの頻出エラーがあります.

  • 最後の非零除数ではなく、最後の余りを最大公約数として報告すること.
  • 最小公倍数で共通除数だけ掛け、残りの因数を忘れること.
  • 素数でない数で割り、因数を二重に数えること.
  • すべての列が1になる前に最小公倍数ラダーを止めること.
  • 結果を取り違える — 最大公約数を求めたのに最小公倍数を答える、またはその逆.

最小公倍数・最大公約数の筆算電卓は各除数と余りを追跡するので、どちらを求めても正しい答えを報告します.

最後の非零除数ではなく、最後の余りを最大公約数として報告すること.
最小公倍数で共通除数だけ掛け、残りの因数を忘れること.
素数でない数で割り、因数を二重に数えること.
すべての列が1になる前に最小公倍数ラダーを止めること.
結果を取り違える — 最大公約数を求めたのに最小公倍数を答える、またはその逆.

よくある質問

筆算で最大公約数を求めるには？

筆算で最大公約数を求めるには？

大きい数を小さい数で割り余りを記録し、前の除数をその余りで割るのを、余り0まで繰り返します.最後の非零除数が最大公約数です.

割り算法で最小公倍数を求めるには？

数を1行に書き、共通素数でまとめて割り、割り切れない数は繰り下げます.すべて1になったら、すべての除数を掛けて最小公倍数を得ます.

最小公倍数と最大公約数の違いは？

最大公約数はすべての入力を割り切る最大の数、最小公倍数はすべての入力が割り切れる最小の数です.12と18では、GCD = 6、LCM = 36 です.

最小公倍数と最大公約数はどう関係しますか？

2つの数では LCM × GCD = 2数の積です.一方が分かれば、もう一方は LCM = (a × b) ÷ GCD で求められます.

なぜ最後の非零除数が最大公約数なのですか？

2つの数の共通因数は余りも割るので、各除法手順で共通因数は保たれます.余りが0になったとき、現在の除数は両方を割り切ります.

3つ以上の数の最大公約数も求められますか？

はい.最初の2つのGCDを求め、その結果と次の数のGCDを取り、これを繰り返します.最終結果が全体のGCDです.

最小公倍数は素数で割る必要がありますか？

はい.ラダーで素数を使うと因数の二重計数を避け、正しい最小公倍数が得られます.合成数を使うと必要な因数が欠けることがあります.

最小公倍数–最大公約数の関係

最小公倍数・最大公約数の筆算電卓は GCD(a, b) = GCD(b, a mod b) のユークリッド規則と LCM(a, b) × GCD(a, b) = a × b の積規則を使います.48と36では、GCD = 12、LCM = 144 で、144 × 12 = 48 × 36 = 1728 を確認します.