Calculadora de división larga de números complejos

Cómo usar la calculadora de división larga de números complejos

Para dividir números complejos, sigue estos 4 pasos:

• Introduce el dividendo como a + bi (por ejemplo, 3 + 2i).
• Introduce el divisor como c + di (por ejemplo, 1 − i).
• Haz clic en Calcular para multiplicar por el conjugado y simplificar.
• Lee la parte real y la parte imaginaria del cociente con cada paso mostrado.

La calculadora forma el conjugado del divisor automáticamente, así solo introduces los dos números complejos y lees la respuesta en forma a + bi.

Por qué la división compleja usa el conjugado

Un número complejo a + bi tiene parte real a y parte imaginaria b, donde i² = −1. No puedes dejar un número imaginario en el denominador, así la división compleja lo racionaliza. El conjugado de c + di es c − di, y multiplicar un número complejo por su conjugado da c² + d², un número real, porque los términos cruzados imaginarios se cancelan. La calculadora de división larga de números complejos usa esto para convertir un divisor complejo en uno real, tras lo cual cada parte del cociente es una división real sencilla.

Cómo funciona la división de números complejos

La calculadora produce el cociente a + bi mediante cinco acciones internas:

• Forma el conjugado del divisor cambiando el signo de su parte imaginaria.
• Multiplica numerador y denominador por ese conjugado.
• Expande el numerador con la regla FOIL, sustituyendo i² por −1.
• Simplifica el denominador al valor real c² + d².
• Divide las partes real e imaginaria del numerador entre ese denominador real.

Una vez el denominador es real, hallar cada parte del cociente es división ordinaria, así la respuesta queda limpia en forma a + bi.

Fórmula de la división compleja

La calculadora de división larga de números complejos usa (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²), que se expande a [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²). El denominador c² + d² es el módulo al cuadrado del divisor. Para (3 + 2i) ÷ (1 − i), el denominador es 1² + (−1)² = 2.

Problemas de ejemplo con números complejos

Estos ejemplos muestran multiplicación por el conjugado y separación de partes real e imaginaria.

Ejemplo 1 — (3 + 2i) ÷ (1 − i)

1. Multiplica arriba y abajo por el conjugado 1 + i.
2. Numerador: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; denominador: 1² + 1² = 2.
3. Así (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Ejemplo 2 — Dividir entre un número real: (4 + 6i) ÷ 2

1. El divisor 2 ya es real, así no hace falta conjugado.
2. Divide cada parte entre 2: 4/2 = 2 y 6/2 = 3.
3. Así (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Ejemplo 3 — Dividir entre un imaginario puro: (2 + 3i) ÷ i

1. El conjugado de i es −i; multiplica arriba y abajo por −i.
2. Numerador: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; denominador: i × −i = 1.
3. Así (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Multiplica arriba y abajo por el conjugado 1 + i.
Numerador: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; denominador: 1² + 1² = 2.
Así (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

El divisor 2 ya es real, así no hace falta conjugado.
Divide cada parte entre 2: 4/2 = 2 y 6/2 = 3.
Así (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

El conjugado de i es −i; multiplica arriba y abajo por −i.
Numerador: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; denominador: i × −i = 1.
Así (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Problemas complejos resueltos

¿Cómo divides (5 + i) entre (2 + 3i)?

(5 + i) ÷ (2 + 3i) = 1 − i. Multiplica arriba y abajo por el conjugado 2 − 3i. Numerador: (5 + i)(2 − 3i) = 10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13i. Denominador: 2² + 3² = 13. Al dividir queda 13/13 − 13/13 i = 1 − i.

¿Por qué el denominador se vuelve un número real?

Multiplicar c + di por su conjugado c − di da c² + d², que no tiene i. Los términos cruzados +cdi y −cdi se cancelan, y −d²i² pasa a +d² porque i² = −1. Por eso el conjugado es el multiplicador adecuado: elimina la parte imaginaria del denominador para que el cociente pueda escribirse como a + bi.

Errores frecuentes en la división compleja

La división de números complejos produce 5 errores frecuentes:

• Multiplicar por el divisor en lugar de por su conjugado.
• Olvidar que i² = −1 al expandir el numerador.
• Cambiar el signo de la parte real en lugar de la imaginaria en el conjugado.
• Dividir solo una parte del numerador entre el denominador real.
• Dejar un número imaginario en el denominador en lugar de racionalizarlo.

La calculadora de división larga de números complejos forma el conjugado correcto y sustituye i² = −1 automáticamente, así ambas partes del cociente son exactas.

Preguntas frecuentes