Calculadora de división larga de polinomios

Cómo usar la calculadora de división larga de polinomios

Para dividir polinomios, sigue estos 4 pasos:

• Introduce el polinomio dividendo, como 2x³ − 3x² + 4x − 5, en el primer campo.
• Introduce el polinomio divisor, como x − 2, en el segundo campo.
• Haz clic en Calcular para dividir término a término en orden decreciente.
• Lee el polinomio cociente, el resto y cada paso mostrado.

Incluye coeficientes cero para los grados que falten, como x³ + 0x² + 0x − 8, para que la calculadora mantenga cada potencia alineada en su propia columna.

División de polinomios y funciones racionales

Un polinomio es una suma de términos, cada uno un coeficiente multiplicado por una potencia de la variable. Dividir polinomios es cómo simplificas una función racional — un cociente de dos polinomios — en una forma adecuada. El grado de un polinomio actúa como el tamaño de un número: la división avanza desde el grado más alto hacia abajo. La división se detiene cuando el resto tiene un grado menor que el divisor, igual que un resto numérico se mantiene por debajo del divisor. La calculadora de división larga de polinomios gestiona los grados, los marcadores de posición y los cambios de signo que hacen esto fiable.

Cómo funciona la división larga de polinomios

La calculadora divide polinomios mediante cinco acciones internas:

• Escribe ambos polinomios en grado decreciente y rellena las potencias que falten con coeficientes cero.
• Divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor para obtener un término del cociente.
• Multiplica todo el divisor por ese término del cociente.
• Resta el producto, lo que elimina el término principal actual.
• Baja el siguiente término y repite hasta que el grado del resto quede por debajo del del divisor.

El cociente es la suma de los resultados término a término, y el polinomio sobrante de grado inferior es el resto.

Fórmula de la división de polinomios

La calculadora de división larga de polinomios usa el algoritmo de división para polinomios: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x), con grado(R) < grado(D). Equivalentemente, la función racional es P(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x). Para (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3, la identidad confirma (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.

Problemas de ejemplo con polinomios

Estos ejemplos dividen polinomios con y sin resto.

Ejemplo 1 — División exacta: (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2)

1. Divide x² ÷ x = x; multiplica x(x − 2) = x² − 2x; resta y deja −3x + 6.
2. Divide −3x ÷ x = −3; multiplica −3(x − 2) = −3x + 6; resta y deja 0.
3. Así (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Ejemplo 2 — Con resto: (2x³ − 3x² + 0x − 4) ÷ (x − 1)

1. Divide 2x³ ÷ x = 2x²; resta 2x²(x − 1) y deja −x² + 0x − 4.
2. Divide −x² ÷ x = −x; resta −x(x − 1) y deja −x − 4; divide −x ÷ x = −1; resta y deja −5.
3. Así el cociente es 2x² − x − 1 con resto −5.

Ejemplo 3 — Potencias que faltan: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Escribe x³ + 0x² + 0x − 8; divide x³ ÷ x = x²; resta y deja 2x² + 0x − 8.
2. Divide 2x² ÷ x = 2x; resta y deja 4x − 8; divide 4x ÷ x = 4; resta y deja 0.
3. Así (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Divide x² ÷ x = x; multiplica x(x − 2) = x² − 2x; resta y deja −3x + 6.
Divide −3x ÷ x = −3; multiplica −3(x − 2) = −3x + 6; resta y deja 0.
Así (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Divide 2x³ ÷ x = 2x²; resta 2x²(x − 1) y deja −x² + 0x − 4.
Divide −x² ÷ x = −x; resta −x(x − 1) y deja −x − 4; divide −x ÷ x = −1; resta y deja −5.
Así el cociente es 2x² − x − 1 con resto −5.

Escribe x³ + 0x² + 0x − 8; divide x³ ÷ x = x²; resta y deja 2x² + 0x − 8.
Divide 2x² ÷ x = 2x; resta y deja 4x − 8; divide 4x ÷ x = 4; resta y deja 0.
Así (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Problemas con polinomios resueltos

¿Cómo divides 3x³ + 2x² − x + 5 entre x + 2?

(3x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x + 2) = 3x² − 4x + 7 con resto −9. Divide 3x³ ÷ x = 3x², resta y deja −4x² − x; divide −4x² ÷ x = −4x, resta y deja 7x + 5; divide 7x ÷ x = 7, resta y deja −9. Comprobación: (x + 2)(3x² − 4x + 7) − 9 = 3x³ + 2x² − x + 5.

¿Cómo simplifica la división de polinomios una función racional?

Reescribe P(x)/D(x) como un polinomio más una fracción propia. Para (x² + 1)/(x − 1), la división larga da x + 1 con resto 2, así (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). El resto sobre el divisor es la parte propia, esencial para graficar asíntotas e integrar funciones racionales.

Errores frecuentes en la división de polinomios

La división de polinomios produce 5 errores frecuentes:

• Omitir un coeficiente cero para un grado que falta, lo que desalinea los términos.
• Errores de signo al restar el producto, especialmente con una constante negativa en el divisor.
• Multiplicar el término del cociente solo por el término principal del divisor.
• Escribir el cociente o el dividendo fuera del orden de grado decreciente.
• Detenerse antes de que el grado del resto quede por debajo del grado del divisor.

La calculadora de división larga de polinomios inserta marcadores de posición, ordena los términos por grado y rastrea cada signo para que cada resta sea exacta.

Preguntas frecuentes