Калкулатор за деление с колона с комплексни числа

Как да използвате калкулатора за комплексни числа

За да делите комплексни числа, следвайте тези 4 стъпки:

• Въведете делимото като a + bi (например 3 + 2i).
• Въведете делителя като c + di (например 1 − i).
• Натиснете „Изчисли“, за да умножите по съпратата и опростите.
• Прочетете действителната и мнимата част на частното с всяка показана стъпка.

Калкулаторът образува съпратата на делителя автоматично, така че въвеждате само двете комплексни числа и четете отговора a + bi.

Защо комплексното деление използва съпратата

Комплексното число a + bi има действителна част a и мнимa част b, където i² = −1. Не може мнимо число да остане в знаменателя, затова комплексното деление го рационализира. Съпратата на c + di е c − di, а умножението на комплексно число по съпратата му дава c² + d² — действително число, защото мнимите кръстосани членове се унищожават. Калкулаторът за комплексни числа използва това, за да превърне комплексен делител в действителен, след което всяка част на частното е обикновено действително деление.

Как работи делението на комплексни числа

Калкулаторът получава частното a + bi чрез пет вътрешни действия:

• Образува съпратата на делителя, като обърне знака на мнимата част.
• Умножава числителя и знаменателя по тази съпратата.
• Разгъва числителя с правилото FOIL, като заменя i² с −1.
• Опростява знаменателя до действителната стойност c² + d².
• Дели действителната и мнимата част на числителя на този действителен знаменател.

Щом знаменателят е действителен, намирането на всяка част от частното е обикновено деление и отговорът се получава чисто във форма a + bi.

Формула за комплексно деление

Калкулаторът за комплексни числа използва (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²), което се разгъва до [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²). Знаменателят c² + d² е квадратът на модула на делителя. За (3 + 2i) ÷ (1 − i) знаменателят е 1² + (−1)² = 2.

Примерни задачи с комплексни числа

Тези примери показват умножение по съпратата и разделяне на действителна и мнимa част.

Пример 1 — (3 + 2i) ÷ (1 − i)

1. Умножете горе и долу по съпратата 1 + i.
2. Числител: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; знаменател: 1² + 1² = 2.
3. Така (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Пример 2 — Деление на действително число: (4 + 6i) ÷ 2

1. Делителят 2 вече е действителен, съпратата не е нужна.
2. Разделете всяка част на 2: 4/2 = 2 и 6/2 = 3.
3. Така (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Пример 3 — Деление на чисто мнимо: (2 + 3i) ÷ i

1. Съпратата на i е −i; умножете горе и долу по −i.
2. Числител: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; знаменател: i × −i = 1.
3. Така (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Умножете горе и долу по съпратата 1 + i.
Числител: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; знаменател: 1² + 1² = 2.
Така (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Делителят 2 вече е действителен, съпратата не е нужна.
Разделете всяка част на 2: 4/2 = 2 и 6/2 = 3.
Така (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Съпратата на i е −i; умножете горе и долу по −i.
Числител: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; знаменател: i × −i = 1.
Така (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Решени задачи с комплексни числа

Как се дели (5 + i) на (2 + 3i)?

(5 + i) ÷ (2 + 3i) = 1 − i. Умножете горе и долу по съпратата 2 − 3i. Числител: (5 + i)(2 − 3i) = 10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13i. Знаменател: 2² + 3² = 13. Делението дава 13/13 − 13/13 i = 1 − i.

Защо знаменателят става действително число?

Умножението c + di по съпратата c − di дава c² + d², което няма i. Кръстосаните членове +cdi и −cdi се унищожават, а −d²i² става +d², защото i² = −1. Затова съпратата е правилният множител: тя премахва мнимата част от знаменателя, така че частното може да се запише като a + bi.

Чести грешки при комплексно деление

Делението на комплексни числа води до 5 чести грешки:

• Умножение по делителя вместо по съпратата му.
• Забравяне, че i² = −1 при разгръщане на числителя.
• Промяна на знака на действителната част вместо на мнимата в съпратата.
• Деление само на една част от числителя на действителния знаменател.
• Оставяне на мнимо число в знаменателя вместо рационализиране.

Калкулаторът за комплексни числа образува правилната съпратата и заменя i² = −1 автоматично, така че и двете части на частното са точни.

Често задавани въпроси