Kalkulator dzielenia pisemnego z liczbami zespolonymi

Jak korzystać z kalkulatora liczb zespolonych

Aby dzielić liczby zespolone, wykonaj te 4 kroki:

• Wpisz dzielną jako a + bi (na przykład 3 + 2i).
• Wpisz dzielnik jako c + di (na przykład 1 − i).
• Kliknij Oblicz, aby pomnożyć przez sprzężenie i uprościć.
• Odczytaj część rzeczywistą i urojoną ilorazu wraz z każdym pokazanym krokiem.

Kalkulator tworzy sprzężenie dzielnika automatycznie, więc wpisujesz tylko dwie liczby zespolone i czytasz odpowiedź a + bi.

Dlaczego dzielenie zespolone używa sprzężenia

Liczba zespolona a + bi ma część rzeczywistą a i urojoną b, gdzie i² = −1. Nie można zostawić liczby urojonej w mianowniku, więc dzielenie zespolone ją usprawiedliwia. Sprzężeniem c + di jest c − di, a iloczyn liczby zespolonej ze sprzężeniem daje c² + d² — liczbę rzeczywistą, bo składniki krzyżowe urojone się znoszą. Kalkulator liczb zespolonych zamienia zespolony dzielnik w rzeczywisty, po czym każda część ilorazu to zwykłe dzielenie rzeczywiste.

Jak działa dzielenie liczb zespolonych

Kalkulator wyznacza iloraz a + bi przez pięć wewnętrznych czynności:

• Tworzy sprzężenie dzielnika, zmieniając znak jego części urojonej.
• Mnoży licznik i mianownik przez to sprzężenie.
• Rozwija licznik regułą FOIL, zastępując i² przez −1.
• Upraszcza mianownik do wartości rzeczywistej c² + d².
• Dzieli części rzeczywistą i urojoną licznika przez ten rzeczywisty mianownik.

Gdy mianownik jest rzeczywisty, każda część ilorazu to zwykłe dzielenie i odpowiedź ma czystą postać a + bi.

Wzór na dzielenie zespolone

Kalkulator liczb zespolonych stosuje (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²), co rozwija się do [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²). Mianownik c² + d² to kwadrat modułu dzielnika. Dla (3 + 2i) ÷ (1 − i) mianownik to 1² + (−1)² = 2.

Przykładowe zadania z liczbami zespolonymi

Te przykłady pokazują mnożenie przez sprzężenie i rozdzielenie części rzeczywistej i urojonej.

Przykład 1 — (3 + 2i) ÷ (1 − i)

1. Pomnóż górę i dół przez sprzężenie 1 + i.
2. Licznik: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; mianownik: 1² + 1² = 2.
3. Więc (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Przykład 2 — Dzielenie przez liczbę rzeczywistą: (4 + 6i) ÷ 2

1. Dzielnik 2 jest już rzeczywisty, sprzężenie nie jest potrzebne.
2. Podziel każdą część przez 2: 4/2 = 2 i 6/2 = 3.
3. Więc (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Przykład 3 — Dzielenie przez czysto urojoną: (2 + 3i) ÷ i

1. Sprzężeniem i jest −i; pomnóż górę i dół przez −i.
2. Licznik: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; mianownik: i × −i = 1.
3. Więc (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Pomnóż górę i dół przez sprzężenie 1 + i.
Licznik: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; mianownik: 1² + 1² = 2.
Więc (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Dzielnik 2 jest już rzeczywisty, sprzężenie nie jest potrzebne.
Podziel każdą część przez 2: 4/2 = 2 i 6/2 = 3.
Więc (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Sprzężeniem i jest −i; pomnóż górę i dół przez −i.
Licznik: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; mianownik: i × −i = 1.
Więc (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Rozwiązane zadania zespolone

Jak podzielić (5 + i) przez (2 + 3i)?

(5 + i) ÷ (2 + 3i) = 1 − i. Pomnóż górę i dół przez sprzężenie 2 − 3i. Licznik: (5 + i)(2 − 3i) = 10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13i. Mianownik: 2² + 3² = 13. Dzielenie daje 13/13 − 13/13 i = 1 − i.

Dlaczego mianownik staje się liczbą rzeczywistą?

Iloczyn (c + di)(c − di) daje c² + d² bez i. Składniki krzyżowe +cdi i −cdi znikają, a −d²i² staje się +d², bo i² = −1. Dlatego sprzężenie jest właściwym mnożnikiem: usuwa część urojoną z mianownika, więc iloraz można zapisać jako a + bi.

Typowe błędy dzielenia zespolonego

Dzielenie liczb zespolonych prowadzi do 5 częstych błędów:

• Mnożenie przez dzielnik zamiast przez jego sprzężenie.
• Zapomnienie, że i² = −1 przy rozwijaniu licznika.
• Zmiana znaku części rzeczywistej zamiast urojonej w sprzężeniu.
• Dzielenie tylko jednej części licznika przez rzeczywisty mianownik.
• Pozostawienie liczby urojonej w mianowniku zamiast usprawiedliwienia.

Kalkulator liczb zespolonych tworzy poprawne sprzężenie i podstawia i² = −1 automatycznie, więc obie części ilorazu są dokładne.

Czeste pytania