Calcolatrice di divisione in colonna con numeri complessi

Come usare la Calcolatrice di divisione in colonna con numeri complessi

Per dividere numeri complessi, segui questi 4 passaggi:

• Inserisci il dividendo in forma a + bi (ad esempio, 3 + 2i).
• Inserisci il divisore in forma c + di (ad esempio, 1 − i).
• Clicca su Calcola per moltiplicare per il coniugato e semplificare.
• Leggi la parte reale e la parte immaginaria del quoziente con ogni passaggio mostrato.

La calcolatrice forma automaticamente il coniugato del divisore, quindi inserisci solo i due numeri complessi e leggi la risposta in forma a + bi.

Perché la divisione complessa usa il coniugato

Un numero complesso a + bi ha parte reale a e parte immaginaria b, dove i² = −1. Non puoi lasciare un numero immaginario al denominatore, quindi la divisione complessa lo razionalizza. Il coniugato di c + di è c − di, e moltiplicare un numero complesso per il suo coniugato dà c² + d², un numero reale, perché i termini incrociati immaginari si cancellano. La Calcolatrice di divisione in colonna con numeri complessi usa questo per convertire un divisore complesso in uno reale, dopo di che ogni parte del quoziente è una semplice divisione reale.

Come funziona la divisione di numeri complessi

La calcolatrice produce il quoziente in forma a + bi attraverso cinque azioni interne:

• Forma il coniugato del divisore invertendo il segno della parte immaginaria.
• Moltiplica numeratore e divisore per quel coniugato.
• Espande il numeratore con la regola FOIL, sostituendo i² con −1.
• Semplifica il denominatore al valore reale c² + d².
• Divide le parti reale e immaginaria del numeratore per quel denominatore reale.

Una volta che il denominatore è reale, trovare ogni parte del quoziente è divisione ordinaria, quindi la risposta si risolve chiaramente in forma a + bi.

Formula della divisione complessa

La Calcolatrice di divisione in colonna con numeri complessi usa (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²), che si espande in [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²). Il denominatore c² + d² è il modulo al quadrato del divisore. Per (3 + 2i) ÷ (1 − i), il denominatore è 1² + (−1)² = 2.

Problemi di esempio con numeri complessi

Questi esempi mostrano moltiplicazione per il coniugato e separazione delle parti reale e immaginaria.

Esempio 1 — (3 + 2i) ÷ (1 − i)

1. Moltiplica sopra e sotto per il coniugato 1 + i.
2. Numeratore: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; denominatore: 1² + 1² = 2.
3. Quindi (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Esempio 2 — Dividere per un numero reale: (4 + 6i) ÷ 2

1. Il divisore 2 è già reale, quindi non serve il coniugato.
2. Dividi ogni parte per 2: 4/2 = 2 e 6/2 = 3.
3. Quindi (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Esempio 3 — Dividere per un immaginario puro: (2 + 3i) ÷ i

1. Il coniugato di i è −i; moltiplica sopra e sotto per −i.
2. Numeratore: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; denominatore: i × −i = 1.
3. Quindi (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Moltiplica sopra e sotto per il coniugato 1 + i.
Numeratore: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; denominatore: 1² + 1² = 2.
Quindi (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Il divisore 2 è già reale, quindi non serve il coniugato.
Dividi ogni parte per 2: 4/2 = 2 e 6/2 = 3.
Quindi (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Il coniugato di i è −i; moltiplica sopra e sotto per −i.
Numeratore: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; denominatore: i × −i = 1.
Quindi (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Problemi complessi svolti

Come dividi (5 + i) per (2 + 3i)?

(5 + i) ÷ (2 + 3i) = 1 − i. Moltiplica sopra e sotto per il coniugato 2 − 3i. Numeratore: (5 + i)(2 − 3i) = 10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13i. Denominatore: 2² + 3² = 13. Dividendo si ottiene 13/13 − 13/13 i = 1 − i.

Perché il denominatore diventa un numero reale?

Moltiplicare c + di per il suo coniugato c − di dà c² + d², che non ha i. I termini incrociati +cdi e −cdi si cancellano, e −d²i² diventa +d² perché i² = −1. Ecco perché il coniugato è il moltiplicatore giusto: elimina la parte immaginaria dal denominatore così il quoziente si può scrivere in forma a + bi.

Errori comuni nella divisione complessa

La divisione di numeri complessi produce 5 errori frequenti:

• Moltiplicare per il divisore invece che per il suo coniugato.
• Dimenticare che i² = −1 quando si espande il numeratore.
• Cambiare il segno della parte reale invece di quella immaginaria nel coniugato.
• Dividere solo una parte del numeratore per il denominatore reale.
• Lasciare un numero immaginario al denominatore invece di razionalizzarlo.

La Calcolatrice di divisione in colonna con numeri complessi forma il coniugato corretto e sostituisce i² = −1 automaticamente, così entrambe le parti del quoziente sono esatte.

Domande frequenti