복소수 긴나눗셈 계산기

복소수 긴나눗셈 계산기 사용법

복소수를 나누려면 다음 4단계를 따르세요:

• 첫 번째 칸에 a + bi 형태로 피제수를 입력하세요(예: 3 + 2i).
• 두 번째 칸에 c + di 형태로 제수를 입력하세요(예: 1 − i).
• 계산을 클릭하여 켤레복소수를 곱하고 간단히 하세요.
• 각 단계와 함께 몫의 실수부와 허수부를 확인하세요.

계산기가 제수의 켤레복소수를 자동으로 만들므로 두 복소수만 입력하고 a + bi 답을 읽으면 됩니다.

복소수 나눗셈에 켤레복소수를 쓰는 이유

복소수 a + bi는 실수부 a와 허수부 b를 가지며 i² = −1입니다. 분모에 허수를 남길 수 없으므로 복소수 나눗셈은 유리화합니다. c + di의 켤레복소수는 c − di이며, 복소수에 켤레복소수를 곱하면 허수 교차항이 상쇄되어 c² + d²라는 실수가 됩니다. 복소수 긴나눗셈 계산기는 이를 이용해 복소 제수를 실수로 바꾼 뒤, 몫의 각 부분은 일반 실수 나눗셈이 됩니다.

복소수 나눗셈 작동 방식

계산기는 다섯 가지 내부 동작으로 a + bi 몫을 만듭니다:

• 제수의 허수부 부호를 바꿔 켤레복소수를 만듭니다.
• 분자와 분모 모두에 그 켤레복소수를 곱합니다.
• FOIL 규칙으로 분자를 전개하고 i²을 −1로 바꿉니다.
• 분모를 실수 c² + d²로 간단히 합니다.
• 분자의 실수부와 허수부를 그 실수 분모로 나눕니다.

분모가 실수가 되면 몫의 각 부분은 일반 나눗셈이므로 답이 a + bi 형태로 깔끔하게 정리됩니다.

복소수 나눗셈 공식

복소수 긴나눗셈 계산기는 (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²)를 사용하며, 전개하면 [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)입니다. 분모 c² + d²는 제수의 제곱 절댓값입니다. (3 + 2i) ÷ (1 − i)의 분모는 1² + (−1)² = 2입니다.

복소수 예제

이 예제는 켤레복소수 곱과 실수·허수 분리를 보여 줍니다.

예제 1 — (3 + 2i) ÷ (1 − i)

1. 위아래에 켤레복소수 1 + i를 곱합니다.
2. 분자: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; 분모: 1² + 1² = 2.
3. 따라서 (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0.5 + 2.5i.

예제 2 — 실수로 나누기: (4 + 6i) ÷ 2

1. 제수 2는 이미 실수이므로 켤레복소수가 필요 없습니다.
2. 각 부분을 2로 나눕니다: 4/2 = 2, 6/2 = 3.
3. 따라서 (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

예제 3 — 순허수로 나누기: (2 + 3i) ÷ i

1. i의 켤레복소수는 −i; 위아래에 −i를 곱합니다.
2. 분자: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; 분모: i × −i = 1.
3. 따라서 (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

위아래에 켤레복소수 1 + i를 곱합니다.
분자: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; 분모: 1² + 1² = 2.
따라서 (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0.5 + 2.5i.

제수 2는 이미 실수이므로 켤레복소수가 필요 없습니다.
각 부분을 2로 나눕니다: 4/2 = 2, 6/2 = 3.
따라서 (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

i의 켤레복소수는 −i; 위아래에 −i를 곱합니다.
분자: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; 분모: i × −i = 1.
따라서 (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

복소수 풀이 예제

(5 + i)를 (2 + 3i)로 나누려면?

(5 + i) ÷ (2 + 3i) = 1 − i. 위아래에 켤레복소수 2 − 3i를 곱합니다. 분자: (5 + i)(2 − 3i) = 10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13i. 분모: 2² + 3² = 13. 나누면 13/13 − 13/13 i = 1 − i.

분모가 왜 실수가 되나요?

c + di에 켤레복소수 c − di를 곱하면 i가 없는 c² + d²가 됩니다. 교차항 +cdi와 −cdi가 상쇄되고, −d²i²는 i² = −1이므로 +d²가 됩니다. 켤레복소수가 올바른 승수인 이유는 분모의 허수부를 없애 몫을 a + bi로 쓸 수 있게 하기 때문입니다.

흔한 복소수 나눗셈 실수

복소수 나눗셈에서 5가지 흔한 오류가 납니다:

• 켤레복소수가 아닌 제수를 곱하는 것.
• 분자 전개 시 i² = −1을 잊는 것.
• 켤레복소수에서 실수부가 아닌 허수부 부호를 바꾸는 것.
• 분자의 한 부분만 실수 분모로 나누는 것.
• 유리화하지 않고 분모에 허수를 남기는 것.

복소수 긴나눗셈 계산기는 올바른 켤레복소수를 만들고 i² = −1을 자동으로 대입하여 몫의 두 부분이 정확합니다.

자주 묻는 질문