Kalkulator Pembagian Bersusun Bilangan Kompleks

Cara menggunakan Kalkulator Pembagian Bersusun Bilangan Kompleks

Untuk membagi bilangan kompleks, ikuti 4 langkah berikut:

• Masukkan yang dibagi sebagai a + bi (contoh: 3 + 2i).
• Masukkan pembagi sebagai c + di (contoh: 1 − i).
• Klik Hitung untuk mengalikan dengan konjugat dan menyederhanakan.
• Baca bagian real dan imajiner hasil bagi dengan setiap langkah ditampilkan.

Kalkulator membentuk konjugat pembagi secara otomatis, sehingga Anda hanya memasukkan dua bilangan kompleks dan membaca jawaban a + bi.

Mengapa pembagian kompleks menggunakan konjugat

Bilangan kompleks a + bi memiliki bagian real a dan bagian imajiner b, dengan i² = −1. Anda tidak dapat meninggalkan bilangan imajiner di penyebut, sehingga pembagian kompleks merasionalkannya. Konjugat dari c + di adalah c − di, dan mengalikan bilangan kompleks dengan konjugatnya memberikan c² + d², bilangan real, karena suku silang imajiner saling meniadakan. Kalkulator Pembagian Bersusun Bilangan Kompleks menggunakan ini untuk mengonversi pembagi kompleks menjadi real, setelah itu setiap bagian hasil bagi adalah pembagian real yang mudah.

Cara kerja pembagian bilangan kompleks

Kalkulator menghasilkan hasil bagi a + bi melalui lima tindakan internal:

• Membentuk konjugat pembagi dengan membalik tanda bagian imajinernya.
• Mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat tersebut.
• Memperluas pembilang dengan aturan FOIL, mengganti i² dengan −1.
• Menyederhanakan penyebut menjadi nilai real c² + d².
• Membagi bagian real dan imajiner pembilang dengan penyebut real tersebut.

Setelah penyebut menjadi real, menemukan setiap bagian hasil bagi adalah pembagian biasa, sehingga jawaban terurai rapi menjadi bentuk a + bi.

Rumus pembagian kompleks

Kalkulator Pembagian Bersusun Bilangan Kompleks menggunakan (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²), yang diperluas menjadi [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²). Penyebut c² + d² adalah modulus kuadrat pembagi. Untuk (3 + 2i) ÷ (1 − i), penyebutnya adalah 1² + (−1)² = 2.

Contoh soal bilangan kompleks

Contoh berikut menunjukkan perkalian konjugat dan pemisahan bagian real dan imajiner.

Contoh 1 — (3 + 2i) ÷ (1 − i)

1. Kalikan atas dan bawah dengan konjugat 1 + i.
2. Pembilang: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; penyebut: 1² + 1² = 2.
3. Jadi (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0.5 + 2.5i.

Contoh 2 — Bagi bilangan real: (4 + 6i) ÷ 2

1. Pembagi 2 sudah real, jadi konjugat tidak diperlukan.
2. Bagi setiap bagian dengan 2: 4/2 = 2 dan 6/2 = 3.
3. Jadi (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Contoh 3 — Bagi imajiner murni: (2 + 3i) ÷ i

1. Konjugat dari i adalah −i; kalikan atas dan bawah dengan −i.
2. Pembilang: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; penyebut: i × −i = 1.
3. Jadi (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Kalikan atas dan bawah dengan konjugat 1 + i.
Pembilang: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; penyebut: 1² + 1² = 2.
Jadi (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0.5 + 2.5i.

Pembagi 2 sudah real, jadi konjugat tidak diperlukan.
Bagi setiap bagian dengan 2: 4/2 = 2 dan 6/2 = 3.
Jadi (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Konjugat dari i adalah −i; kalikan atas dan bawah dengan −i.
Pembilang: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; penyebut: i × −i = 1.
Jadi (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Soal kompleks yang dikerjakan

Bagaimana cara membagi (5 + i) dengan (2 + 3i)?

(5 + i) ÷ (2 + 3i) = 1 − i. Kalikan atas dan bawah dengan konjugat 2 − 3i. Pembilang: (5 + i)(2 − 3i) = 10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13i. Penyebut: 2² + 3² = 13. Membagi memberikan 13/13 − 13/13 i = 1 − i.

Mengapa penyebut menjadi bilangan real?

Mengalikan c + di dengan konjugatnya c − di memberikan c² + d², yang tidak memiliki i. Suku silang +cdi dan −cdi saling meniadakan, dan −d²i² menjadi +d² karena i² = −1. Inilah mengapa konjugat adalah pengali yang tepat: menghilangkan bagian imajiner dari penyebut sehingga hasil bagi dapat ditulis sebagai a + bi.

Kesalahan pembagian kompleks yang umum

Pembagian bilangan kompleks menghasilkan 5 kesalahan yang sering:

• Mengalikan dengan pembagi alih-alih konjugatnya.
• Lupa bahwa i² = −1 saat memperluas pembilang.
• Mengubah tanda bagian real alih-alih bagian imajiner dalam konjugat.
• Membagi hanya satu bagian pembilang dengan penyebut real.
• Meninggalkan bilangan imajiner di penyebut alih-alih merasionalkannya.

Kalkulator Pembagian Bersusun Bilangan Kompleks membentuk konjugat yang benar dan mengganti i² = −1 secara otomatis, sehingga kedua bagian hasil bagi tepat.

Pertanyaan umum