Karmaşık Sayı Uzun Bölme Hesaplayıcı

Karmaşık Sayı Uzun Bölme Hesaplayıcı nasıl kullanılır

Karmaşık sayıları bölmek için şu 4 adımı izleyin:

• Bölüneni a + bi olarak girin (örneğin 3 + 2i).
• Böleni c + di olarak girin (örneğin 1 − i).
• Eşlenikle çarpıp sadeleştirmek için Hesapla'ya tıklayın.
• Her adımla birlikte bölümün gerçek ve sanal kısımlarını okuyun.

Hesaplayıcı bölenin eşleniğini otomatik oluşturur; yalnızca iki karmaşık sayıyı girer ve a + bi cevabını okursunuz.

Karmaşık bölme neden eşlenik kullanır

a + bi karmaşık sayısının gerçek kısmı a, sanal kısmı b'dir; i² = −1. Paydada sanal sayı bırakılamaz; karmaşık bölme rasyonelleştirilir. c + di'nin eşleniği c − di'dir; karmaşık sayıyı eşleniğiyle çarpmak c² + d² gerçek sayısını verir çünkü sanal çapraz terimler birbirini götürür. Karmaşık Sayı Uzun Bölme Hesaplayıcı bunu karmaşık böleni gerçek sayıya dönüştürmek için kullanır; ardından bölümün her kısmı düz gerçek bölmedir.

Karmaşık sayı bölmesi nasıl çalışır

Hesaplayıcı a + bi bölümünü beş iç işlemle oluşturur:

• Bölenin eşleniğini sanal kısmının işaretini ters çevirerek oluşturur.
• Pay ve paydayı bu eşlenikle çarpar.
• Payı FOIL kuralıyla genişletir; i² yerine −1 koyar.
• Paydayı c² + d² gerçek değerine sadeleştirir.
• Payın gerçek ve sanal kısımlarını bu gerçek paydaya böler.

Payda gerçek olduğunda bölümün her kısmını bulmak sıradan bölmedir; cevap a + bi biçiminde temiz çözülür.

Karmaşık bölme formülü

Karmaşık Sayı Uzun Bölme Hesaplayıcı (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²) kullanır; bu [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²) olarak açılır. Payda c² + d² bölenin kare modülüdür. (3 + 2i) ÷ (1 − i) için payda 1² + (−1)² = 2.

Karmaşık sayı örnek problemler

Bu örnekler eşlenik çarpımını ve gerçek/sanal kısımları ayırmayı gösterir.

Örnek 1 — (3 + 2i) ÷ (1 − i)

1. Pay ve paydayı eşlenik 1 + i ile çarpın.
2. Pay: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; payda: 1² + 1² = 2.
3. (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Örnek 2 — Gerçek sayıya bölme: (4 + 6i) ÷ 2

1. Bölen 2 zaten gerçek; eşlenik gerekmez.
2. Her kısmı 2'ye bölün: 4/2 = 2 ve 6/2 = 3.
3. (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Örnek 3 — Saf sanala bölme: (2 + 3i) ÷ i

1. i'nin eşleniği −i; pay ve paydayı −i ile çarpın.
2. Pay: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; payda: i × −i = 1.
3. (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Pay ve paydayı eşlenik 1 + i ile çarpın.
Pay: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; payda: 1² + 1² = 2.
(3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Bölen 2 zaten gerçek; eşlenik gerekmez.
Her kısmı 2'ye bölün: 4/2 = 2 ve 6/2 = 3.
(4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

i'nin eşleniği −i; pay ve paydayı −i ile çarpın.
Pay: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; payda: i × −i = 1.
(2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Çözülmüş karmaşık problemler

(5 + i)'yi (2 + 3i)'ye nasıl bölersiniz?

(5 + i) ÷ (2 + 3i) = 1 − i. Pay ve paydayı eşlenik 2 − 3i ile çarpın. Pay: (5 + i)(2 − 3i) = 10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13i. Payda: 2² + 3² = 13. Bölme 13/13 − 13/13 i = 1 − i verir.

Payda neden gerçek sayı olur?

c + di'yi eşleniği c − di ile çarpmak c² + d² verir; i yoktur. Çapraz terimler +cdi ve −cdi birbirini götürür; −d²i², i² = −1 olduğundan +d² olur. Eşlenik doğru çarpandır: paydadan sanal kısmı temizler ve bölüm a + bi olarak yazılabilir.

Yaygın karmaşık bölme hataları

Karmaşık sayı bölmesi 5 sık hataya yol açar:

• Eşlenik yerine bölenle çarpmak.
• Payı genişletirken i² = −1'i unutmak.
• Eşlenikte gerçek kısmın işaretini değiştirmek, sanal yerine.
• Payın yalnızca bir kısmını gerçek paydaya bölmek.
• Paydada sanal sayı bırakmak, rasyonelleştirmemek.

Karmaşık Sayı Uzun Bölme Hesaplayıcı doğru eşleniği oluşturur ve i² = −1'i otomatik yerine koyar; bölümün her iki kısmı da kesindir.

Sik sorulan sorular