Калькулятор деления столбиком с комплексными числами

Как пользоваться калькулятором комплексных чисел

Чтобы делить комплексные числа, выполните эти 4 шага:

• Введите делимое как a + bi (например, 3 + 2i).
• Введите делитель как c + di (например, 1 − i).
• Нажмите «Вычислить», чтобы умножить на сопряжённое и упростить.
• Прочитайте действительную и мнимую части частного с каждым показанным шагом.

Калькулятор формирует сопряжённое делителя автоматически, поэтому вы вводите только два комплексных числа и читаете ответ a + bi.

Почему комплексное деление использует сопряжённое

Комплексное число a + bi имеет действительную часть a и мнимую часть b, где i² = −1. Мнимое число нельзя оставить в знаменателе, поэтому комплексное деление его рационализирует. Сопряжённым к c + di является c − di, а произведение комплексного числа на сопряжённое даёт c² + d² — действительное число, потому что мнимые перекрёстные члены сокращаются. Калькулятор комплексных чисел превращает комплексный делитель в действительный, после чего каждая часть частного — обычное действительное деление.

Как работает деление комплексных чисел

Калькулятор получает частное a + bi через пять внутренних действий:

• Формирует сопряжённое делителя, меняя знак мнимой части.
• Умножает числитель и знаменатель на это сопряжённое.
• Разворачивает числитель по правилу FOIL, заменяя i² на −1.
• Упрощает знаменатель до действительного значения c² + d².
• Делит действительную и мнимую части числителя на этот действительный знаменатель.

Когда знаменатель действителен, каждая часть частного — обычное деление, и ответ получается в чистой форме a + bi.

Формула комплексного деления

Калькулятор комплексных чисел использует (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²), что разворачивается в [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²). Знаменатель c² + d² — квадрат модуля делителя. Для (3 + 2i) ÷ (1 − i) знаменатель равен 1² + (−1)² = 2.

Примеры с комплексными числами

Эти примеры показывают умножение на сопряжённое и разделение действительной и мнимой частей.

Пример 1 — (3 + 2i) ÷ (1 − i)

1. Умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое 1 + i.
2. Числитель: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; знаменатель: 1² + 1² = 2.
3. Итак (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Пример 2 — Деление на действительное: (4 + 6i) ÷ 2

1. Делитель 2 уже действителен, сопряжённое не нужно.
2. Разделите каждую часть на 2: 4/2 = 2 и 6/2 = 3.
3. Итак (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Пример 3 — Деление на чисто мнимое: (2 + 3i) ÷ i

1. Сопряжённое к i — −i; умножьте числитель и знаменатель на −i.
2. Числитель: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; знаменатель: i × −i = 1.
3. Итак (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое 1 + i.
Числитель: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; знаменатель: 1² + 1² = 2.
Итак (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Делитель 2 уже действителен, сопряжённое не нужно.
Разделите каждую часть на 2: 4/2 = 2 и 6/2 = 3.
Итак (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Сопряжённое к i — −i; умножьте числитель и знаменатель на −i.
Числитель: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; знаменатель: i × −i = 1.
Итак (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Разобранные задачи с комплексными числами

Как разделить (5 + i) на (2 + 3i)?

(5 + i) ÷ (2 + 3i) = 1 − i. Умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое 2 − 3i. Числитель: (5 + i)(2 − 3i) = 10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13i. Знаменатель: 2² + 3² = 13. Деление даёт 13/13 − 13/13 i = 1 − i.

Почему знаменатель становится действительным?

Произведение (c + di)(c − di) даёт c² + d² без i. Перекрёстные члены +cdi и −cdi сокращаются, а −d²i² становится +d², потому что i² = −1. Поэтому сопряжённое — правильный множитель: оно убирает мнимую часть из знаменателя, и частное записывается как a + bi.

Типичные ошибки комплексного деления

Деление комплексных чисел даёт 5 частых ошибок:

• Умножение на делитель вместо его сопряжённого.
• Забыть, что i² = −1 при развёртывании числителя.
• Менять знак действительной части вместо мнимой в сопряжённом.
• Делить только одну часть числителя на действительный знаменатель.
• Оставлять мнимое число в знаменателе вместо рационализации.

Калькулятор комплексных чисел формирует правильное сопряжённое и подставляет i² = −1 автоматически, поэтому обе части частного точны.

Частые вопросы