Långdivisionskalkylator för komplexa tal

Så använder du långdivisionskalkylatorn för komplexa tal

För att dividera komplexa tal, följ dessa 4 steg:

• Ange dividend som a + bi (till exempel 3 + 2i).
• Ange divisor som c + di (till exempel 1 − i).
• Klicka på Beräkna för att multiplicera med konjugatet och förenkla.
• Läs kvotens reella och imaginära del med varje steg visat.

Kalkylatorn bildar divisorns konjugat automatiskt, så du anger bara de två komplexa talen och läser svaret a + bi.

Varför komplex division använder konjugat

Ett komplext tal a + bi har reell del a och imaginär del b, där i² = −1. Du kan inte lämna ett imaginärt tal i en nämnare, så komplex division rationaliserar den. Konjugatet av c + di är c − di, och att multiplicera ett komplext tal med sitt konjugat ger c² + d², ett reellt tal, eftersom de imaginära korsvillkoren tar ut varandra. Långdivisionskalkylatorn för komplexa tal använder detta för att omvandla en komplex divisor till en reell, varefter varje del av kvoten är en rak reell division.

Hur komplex talsdivision fungerar

Kalkylatorn producerar kvoten a + bi genom fem interna åtgärder:

• Bildar divisorns konjugat genom att vända tecknet på dess imaginära del.
• Multiplicerar både täljare och divisor med det konjugatet.
• Utvider täljaren med FOIL-regeln och ersätter i² med −1.
• Förenklar nämnaren till det reella värdet c² + d².
• Dividerar täljarens reella och imaginära delar med den reella nämnaren.

När nämnaren är reell är varje del av kvoten vanlig division, så svaret löses rent i formen a + bi.

Formel för komplex division

Långdivisionskalkylatorn för komplexa tal använder (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²), vilket utvecklas till [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²). Nämnaren c² + d² är divisorns kvadrerade modul. För (3 + 2i) ÷ (1 − i) är nämnaren 1² + (−1)² = 2.

Exempelproblem med komplexa tal

Dessa exempel visar konjugatmultiplikation och separation av reella och imaginära delar.

Exempel 1 — (3 + 2i) ÷ (1 − i)

1. Multiplicera täljare och nämnare med konjugatet 1 + i.
2. Täljare: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; nämnare: 1² + 1² = 2.
3. Så (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Exempel 2 — Dividera med reellt tal: (4 + 6i) ÷ 2

1. Divisorn 2 är redan reell, så inget konjugat behövs.
2. Dividera varje del med 2: 4/2 = 2 och 6/2 = 3.
3. Så (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Exempel 3 — Dividera med rent imaginärt: (2 + 3i) ÷ i

1. Konjugatet av i är −i; multiplicera täljare och nämnare med −i.
2. Täljare: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; nämnare: i × −i = 1.
3. Så (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Multiplicera täljare och nämnare med konjugatet 1 + i.
Täljare: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i; nämnare: 1² + 1² = 2.
Så (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0,5 + 2,5i.

Divisorn 2 är redan reell, så inget konjugat behövs.
Dividera varje del med 2: 4/2 = 2 och 6/2 = 3.
Så (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

Konjugatet av i är −i; multiplicera täljare och nämnare med −i.
Täljare: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i; nämnare: i × −i = 1.
Så (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

Genomräknade komplexa problem

Hur dividerar du (5 + i) med (2 + 3i)?

(5 + i) ÷ (2 + 3i) = 1 − i. Multiplicera täljare och nämnare med konjugatet 2 − 3i. Täljare: (5 + i)(2 − 3i) = 10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13i. Nämnare: 2² + 3² = 13. Division ger 13/13 − 13/13 i = 1 − i.

Varför blir nämnaren ett reellt tal?

Att multiplicera c + di med konjugatet c − di ger c² + d², som saknar i. Korsvillkoren +cdi och −cdi tar ut varandra, och −d²i² blir +d² eftersom i² = −1. Det är därför konjugatet är rätt multiplikator: det rensar bort den imaginära delen från nämnaren så att kvoten kan skrivas som a + bi.

Vanliga fel vid komplex division

Komplex talsdivision ger 5 frekventa fel:

• Multiplicera med divisorn i stället för dess konjugat.
• Glömma att i² = −1 när täljaren utvecklas.
• Byta tecken på reella delen i stället för imaginära delen i konjugatet.
• Dividera bara en del av täljaren med den reella nämnaren.
• Lämna ett imaginärt tal i nämnaren i stället för att rationalisera.

Långdivisionskalkylatorn för komplexa tal bildar korrekt konjugat och ersätter i² = −1 automatiskt, så båda delarna av kvoten är exakta.

Vanliga fragor