حاسبة القسمة الطويلة للأعداد المركبة

كيف تستخدم حاسبة القسمة الطويلة للأعداد المركبة

لقسمة الأعداد المركبة، اتبع هذه الخطوات الأربع:

• أدخل المقسوم بصيغة a + bi (مثلاً 3 + 2i).
• أدخل المقسوم عليه بصيغة c + di (مثلاً 1 − i).
• انقر احسب لضرب المرافق والتبسيط.
• اقرأ الجزء الحقيقي والتخيلي من الناتج مع كل خطوة.

الحاسبة تكوّن مرافق المقسوم عليه تلقائياً، فتُدخل العددين المركبين فقط وتقرأ إجابة a + bi.

لماذا تستخدم قسمة الأعداد المركبة المرافق

العدد المركب a + bi له جزء حقيقي a وتخيلي b، حيث i² = −1. لا يمكن ترك عدد تخيلي في المقام، لذا تُنَزّل قسمة الأعداد المركبة. مرافق c + di هو c − di، وضرب عدد مركب في مرافقه يعطي c² + d²، عدداً حقيقياً، لأن الحدود التخيلية المتقاطعة تُلغى. حاسبة القسمة الطويلة للأعداد المركبة تستخدم هذا لتحويل مقسوم عليه مركب إلى حقيقي، وبعدها كل جزء من الناتج قسمة حقيقية مباشرة.

كيف تعمل قسمة الأعداد المركبة

الحاسبة تُنتج ناتج a + bi عبر خمس إجراءات داخلية:

• تكوّن مرافق المقسوم عليه بقلب إشارة جزئه التخيلي.
• تضرب البسط والمقام في ذلك المرافق.
• توسّع البسط بقاعدة FOIL، مستبدلة i² بـ −1.
• تُبسّط المقام إلى القيمة الحقيقية c² + d².
• تقسم الجزءين الحقيقي والتخيلي من البسط على ذلك المقام الحقيقي.

بمجرد أن يصبح المقام حقيقياً، إيجاد كل جزء من الناتج قسمة عادية، فيُحلّ الناتج بشكل نظيف إلى صيغة a + bi.

صيغة قسمة الأعداد المركبة

حاسبة القسمة الطويلة للأعداد المركبة تستخدم (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c − di)] / (c² + d²)، التي تتوسع إلى [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²). المقام c² + d² هو المودulus المربع للمقسوم عليه. لـ (3 + 2i) ÷ (1 − i)، المقام 1² + (−1)² = 2.

مسائل مثال للأعداد المركبة

هذه الأمثلة تعرض ضرب المرافق وفصل الأجزاء الحقيقية والتخيلية.

مثال 1 — (3 + 2i) ÷ (1 − i)

1. اضرب الأعلى والأسفل في المرافق 1 + i.
2. البسط: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i؛ المقام: 1² + 1² = 2.
3. إذن (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0.5 + 2.5i.

مثال 2 — القسمة على عدد حقيقي: (4 + 6i) ÷ 2

1. المقسوم عليه 2 حقيقي بالفعل، فلا حاجة لمرافق.
2. اقسم كل جزء على 2: 4/2 = 2 و6/2 = 3.
3. إذن (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

مثال 3 — القسمة على تخيلي صرف: (2 + 3i) ÷ i

1. مرافق i هو −i؛ اضرب الأعلى والأسفل في −i.
2. البسط: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i؛ المقام: i × −i = 1.
3. إذن (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

اضرب الأعلى والأسفل في المرافق 1 + i.
البسط: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i؛ المقام: 1² + 1² = 2.
إذن (3 + 2i) ÷ (1 − i) = 1/2 + 5/2 i = 0.5 + 2.5i.

المقسوم عليه 2 حقيقي بالفعل، فلا حاجة لمرافق.
اقسم كل جزء على 2: 4/2 = 2 و6/2 = 3.
إذن (4 + 6i) ÷ 2 = 2 + 3i.

مرافق i هو −i؛ اضرب الأعلى والأسفل في −i.
البسط: (2 + 3i)(−i) = −2i − 3i² = 3 − 2i؛ المقام: i × −i = 1.
إذن (2 + 3i) ÷ i = 3 − 2i.

مسائل مركبة محلولة

كيف تقسم (5 + i) على (2 + 3i)؟

(5 + i) ÷ (2 + 3i) = 1 − i. اضرب الأعلى والأسفل في المرافق 2 − 3i. البسط: (5 + i)(2 − 3i) = 10 − 15i + 2i − 3i² = 13 − 13i. المقام: 2² + 3² = 13. القسمة تعطي 13/13 − 13/13 i = 1 − i.

لماذا يصبح المقام عدداً حقيقياً؟

ضرب c + di في مرافقه c − di يعطي c² + d²، بلا i. الحدان المتقاطعان +cdi و−cdi يُلغيان، و−d²i² يصبح +d² لأن i² = −1. لذلك المرافق هو المضاعف الصحيح: يُزيل الجزء التخيلي من المقام لكتابة الناتج a + bi.

أخطاء شائعة في قسمة الأعداد المركبة

قسمة الأعداد المركبة تُنتج 5 أخطاء متكررة:

• الضرب في المقسوم عليه بدلاً من مرافقه.
• نسيان أن i² = −1 عند توسيع البسط.
• تغيير إشارة الجزء الحقيقي بدلاً من التخيلي في المرافق.
• قسمة جزء واحد فقط من البسط على المقام الحقيقي.
• ترك عدد تخيلي في المقام بدلاً من التنزيل.

حاسبة القسمة الطويلة للأعداد المركبة تكوّن المرافق الصحيح وتستبدل i² = −1 تلقائياً، فجزءا الناتج دقيقان.

الأسئلة الشائعة