Калькулятор деления многочленов столбиком

Как пользоваться калькулятором деления многочленов

Чтобы делить многочлены, выполните эти 4 шага:

• Введите делимый многочлен, например 2x³ − 3x² + 4x − 5, в первое поле.
• Введите делительный многочлен, например x − 2, во второе поле.
• Нажмите «Вычислить», чтобы делить член за членом по убыванию степени.
• Прочитайте многочлен-частное, остаток и каждый показанный шаг.

Включите нулевые коэффициенты для пропущенных степеней, например x³ + 0x² + 0x − 8, чтобы калькулятор держал каждую степень в своём столбце.

Деление многочленов и рациональные функции

Многочлен — сумма членов, каждый из которых — коэффициент, умноженный на степень переменной. Деление многочленов упрощает рациональную функцию — отношение двух многочленов — до правильного вида. Степень многочлена подобна размеру числа: деление идёт от высшей степени вниз. Оно останавливается, когда остаток имеет меньшую степень, чем делитель, как числовой остаток остаётся меньше делителя. Калькулятор управляет степенями, заполнителями и сменой знаков, которые делают процесс надёжным.

Как работает деление многочленов столбиком

Калькулятор делит многочлены через пять внутренних действий:

• Записывает оба многочлена по убыванию степени и заполняет пропуски нулевыми коэффициентами.
• Делит старший член делимого на старший член делителя, получая член частного.
• Умножает весь делитель на этот член частного.
• Вычитает произведение, устраняя текущий старший член.
• Сносит следующий член и повторяет, пока степень остатка ниже степени делителя.

Частное — сумма пошаговых результатов, а оставшийся многочлен меньшей степени — остаток.

Формула деления многочленов

Калькулятор использует алгоритм деления многочленов: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x), где deg(R) < deg(D). Эквивалентно рациональная функция — P(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x). Для (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3 тождество подтверждает (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.

Примеры задач с многочленами

Эти примеры делят многочлены с остатком и без.

Пример 1 — Точное деление: (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2)

1. Разделите x² ÷ x = x; умножьте x(x − 2) = x² − 2x; вычтите, остаётся −3x + 6.
2. Разделите −3x ÷ x = −3; умножьте −3(x − 2) = −3x + 6; вычтите, остаётся 0.
3. Итак (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Пример 2 — С остатком: (2x³ − 3x² + 0x − 4) ÷ (x − 1)

1. Разделите 2x³ ÷ x = 2x²; вычтите 2x²(x − 1), остаётся −x² + 0x − 4.
2. Разделите −x² ÷ x = −x; вычтите −x(x − 1), остаётся −x − 4; разделите −x ÷ x = −1; вычтите, остаётся −5.
3. Частное 2x² − x − 1 с остатком −5.

Пример 3 — Пропущенные степени: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Запишите x³ + 0x² + 0x − 8; разделите x³ ÷ x = x²; вычтите, остаётся 2x² + 0x − 8.
2. Разделите 2x² ÷ x = 2x; вычтите, остаётся 4x − 8; разделите 4x ÷ x = 4; вычтите, остаётся 0.
3. Итак (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Разделите x² ÷ x = x; умножьте x(x − 2) = x² − 2x; вычтите, остаётся −3x + 6.
Разделите −3x ÷ x = −3; умножьте −3(x − 2) = −3x + 6; вычтите, остаётся 0.
Итак (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Разделите 2x³ ÷ x = 2x²; вычтите 2x²(x − 1), остаётся −x² + 0x − 4.
Разделите −x² ÷ x = −x; вычтите −x(x − 1), остаётся −x − 4; разделите −x ÷ x = −1; вычтите, остаётся −5.
Частное 2x² − x − 1 с остатком −5.

Запишите x³ + 0x² + 0x − 8; разделите x³ ÷ x = x²; вычтите, остаётся 2x² + 0x − 8.
Разделите 2x² ÷ x = 2x; вычтите, остаётся 4x − 8; разделите 4x ÷ x = 4; вычтите, остаётся 0.
Итак (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Разобранные задачи с многочленами

Как разделить 3x³ + 2x² − x + 5 на x + 2?

(3x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x + 2) = 3x² − 4x + 7 с остатком −9. Разделите 3x³ ÷ x = 3x², вычтите, остаётся −4x² − x; разделите −4x² ÷ x = −4x, вычтите, остаётся 7x + 5; разделите 7x ÷ x = 7, вычтите, остаётся −9. Проверка: (x + 2)(3x² − 4x + 7) − 9 = 3x³ + 2x² − x + 5.

Как деление многочленов упрощает рациональную функцию?

Оно переписывает P(x)/D(x) как многочлен плюс правильная дробь. Для (x² + 1)/(x − 1) деление столбиком даёт x + 1 с остатком 2, поэтому (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). Остаток над делителем — правильная часть, важная для асимптот и интегрирования рациональных функций.

Частые ошибки при делении многочленов

Деление многочленов приводит к 5 частым ошибкам:

• Пропуск нулевого коэффициента для пропущенной степени, что смещает члены.
• Ошибки знака при вычитании произведения, особенно при отрицательной константе в делителе.
• Умножение члена частного только на старший член делителя.
• Запись частного или делимого не по убыванию степени.
• Остановка до того, как степень остатка станет ниже степени делителя.

Калькулятор деления многочленов вставляет заполнители, упорядочивает члены по степени и отслеживает каждый знак, поэтому каждое вычитание точно.

Частые вопросы