حاسبة القسمة الطويلة لكثيرات الحدود

كيف تستخدم حاسبة القسمة الطويلة لكثيرات الحدود

لقسمة كثيرات الحدود، اتبع هذه الخطوات الأربع:

• أدخل كثير حدود المقسوم، مثل 2x³ − 3x² + 4x − 5، في الحقل الأول.
• أدخل كثير حدود المقسوم عليه، مثل x − 2، في الحقل الثاني.
• انقر احسب للقسمة حد بحد تنازلياً.
• اقرأ كثير حدود الناتج والباقي وكل خطوة معروضة.

ضمّن معاملات صفر للدرجات الناقصة، مثل x³ + 0x² + 0x − 8، حتى تحافظ الحاسبة على محاذاة كل قوة في عمودها.

قسمة كثيرات الحدود والدوال النسبية

كثير الحدود مجموع حدود، كل منها معامل في قوة المتغير. قسمة كثيرات الحدود هي كيف تُبسّط دالة نسبية — نسبة كثيري حدود — إلى صورة مناسبة. درجة كثير الحدود كحجم العدد: القسمة تسير من أعلى درجة إلى الأسفل. تتوقف عندما يصبح الباقي بدرجة أقل من المقسوم عليه، كما يبقى الباقي الرقمي أقل من المقسوم عليه. حاسبة القسمة الطويلة لكثيرات الحدود تدير الدرجات والعناصر النائبة وتغييرات الإشارة التي تجعل هذا موثوقاً.

كيف تعمل القسمة الطويلة لكثيرات الحدود

الحاسبة تقسم كثيرات الحدود عبر خمس إجراءات داخلية:

• تكتب كلا كثيري الحدود بدرجة تنازلية وتملأ القوى الناقصة بمعاملات صفر.
• تقسم الحد الأول للمقسوم على الحد الأول للمقسوم عليه للحصول على حد ناتج.
• تضرب المقسوم عليه كاملاً في ذلك الحد الناتج.
• تطرح حاصل الضرب، مُلغية الحد الأول الحالي.
• تنزل الحد التالي وتكرر حتى درجة الباقي أقل من المقسوم عليه.

الناتج مجموع النتائج حد بحد، وكثير الحدود المتبقي بدرجة أقل هو الباقي.

صيغة قسمة كثيرات الحدود

حاسبة القسمة الطويلة لكثيرات الحدود تستخدم خوارزمية القسمة P(x) = D(x)·Q(x) + R(x)، مع deg(R) < deg(D). الدالة النسبية أيضاً P(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x). لـ (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3، الهوية تؤكد (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.

مسائل مثال لكثيرات الحدود

هذه الأمثلة تقسم كثيرات حدود مع وبدون باقٍ.

مثال 1 — قسمة تامة: (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2)

1. اقسم x² ÷ x = x؛ اضرب x(x − 2) = x² − 2x؛ اطرح لتبقى −3x + 6.
2. اقسم −3x ÷ x = −3؛ اضرب −3(x − 2) = −3x + 6؛ اطرح لتبقى 0.
3. إذن (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

مثال 2 — مع باقٍ: (2x³ − 3x² + 0x − 4) ÷ (x − 1)

1. اقسم 2x³ ÷ x = 2x²؛ اطرح 2x²(x − 1) لتبقى −x² + 0x − 4.
2. اقسم −x² ÷ x = −x؛ اطرح −x(x − 1) لتبقى −x − 4؛ اقسم −x ÷ x = −1؛ اطرح لتبقى −5.
3. إذن الناتج 2x² − x − 1 مع باقٍ −5.

مثال 3 — قوى ناقصة: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. اكتب x³ + 0x² + 0x − 8؛ اقسم x³ ÷ x = x²؛ اطرح لتبقى 2x² + 0x − 8.
2. اقسم 2x² ÷ x = 2x؛ اطرح لتبقى 4x − 8؛ اقسم 4x ÷ x = 4؛ اطرح لتبقى 0.
3. إذن (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

اقسم x² ÷ x = x؛ اضرب x(x − 2) = x² − 2x؛ اطرح لتبقى −3x + 6.
اقسم −3x ÷ x = −3؛ اضرب −3(x − 2) = −3x + 6؛ اطرح لتبقى 0.
إذن (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

اقسم 2x³ ÷ x = 2x²؛ اطرح 2x²(x − 1) لتبقى −x² + 0x − 4.
اقسم −x² ÷ x = −x؛ اطرح −x(x − 1) لتبقى −x − 4؛ اقسم −x ÷ x = −1؛ اطرح لتبقى −5.
إذن الناتج 2x² − x − 1 مع باقٍ −5.

اكتب x³ + 0x² + 0x − 8؛ اقسم x³ ÷ x = x²؛ اطرح لتبقى 2x² + 0x − 8.
اقسم 2x² ÷ x = 2x؛ اطرح لتبقى 4x − 8؛ اقسم 4x ÷ x = 4؛ اطرح لتبقى 0.
إذن (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

مسائل كثيرات حدود محلولة

كيف تقسم 3x³ + 2x² − x + 5 على x + 2؟

(3x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x + 2) = 3x² − 4x + 7 مع باقٍ −9. اقسم 3x³ ÷ x = 3x²، اطرح لتبقى −4x² − x؛ اقسم −4x² ÷ x = −4x، اطرح لتبقى 7x + 5؛ اقسم 7x ÷ x = 7، اطرح لتبقى −9. تحقق: (x + 2)(3x² − 4x + 7) − 9 = 3x³ + 2x² − x + 5.

كيف تُبسّط قسمة كثيرات الحدود دالة نسبية؟

تعيد كتابة P(x)/D(x) ككثير حدود زائد كسر مناسب. لـ (x² + 1)/(x − 1)، القسمة الطويلة تعطي x + 1 مع باقٍ 2، فـ (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). الباقي على المقسوم عليه هو الجزء المناسب، أساسي لتمثيل الدالة وتحديد سلوكها عند اللانهاية وتكامل الدوال النسبية.

أخطاء شائعة في قسمة كثيرات الحدود

قسمة كثيرات الحدود تُنتج 5 أخطاء متكررة:

• تخطي معامل صفر لدرجة ناقصة، فيُحاذي الحدود خطأ.
• أخطاء إشارة عند طرح حاصل الضرب، خاصة مع ثابت سالب في المقسوم عليه.
• ضرب حد الناتج في الحد الأول فقط من المقسوم عليه.
• كتابة الناتج أو المقسوم بترتيب غير تنازلي للدرجة.
• التوقف قبل أن تنخفض درجة الباقي عن درجة المقسوم عليه.

حاسبة القسمة الطويلة لكثيرات الحدود تُدرج عناصر نائبة، ترتب الحدود حسب الدرجة، وتتتبع كل إشارة ليكون كل طرح دقيقاً.

الأسئلة الشائعة