Kalkulator dzielenia pisemnego wielomianów

Jak korzystać z kalkulatora dzielenia wielomianów

Aby dzielić wielomiany, wykonaj te 4 kroki:

• Wpisz wielomian dzielny, np. 2x³ − 3x² + 4x − 5, w pierwsze pole.
• Wpisz wielomian dzielnik, np. x − 2, w drugie pole.
• Kliknij Oblicz, aby dzielić wyraz po wyrazie w kolejności malejącej.
• Odczytaj wielomian ilorazu, resztę i każdy pokazany krok.

Uwzględnij zerowe współczynniki dla brakujących stopni, np. x³ + 0x² + 0x − 8, aby kalkulator trzymał każdą potęgę wyrównaną w osobnej kolumnie.

Dzielenie wielomianów i funkcje wymierne

Wielomian to suma wyrazów, każdy to współczynnik razy potęga zmiennej. Dzielenie wielomianów upraszcza funkcję wymierną — iloraz dwóch wielomianów — do postaci właściwej. Stopień wielomianu działa jak rozmiar liczby: dzielenie idzie od najwyższego stopnia w dół. Kończy się, gdy reszta ma niższy stopień niż dzielnik, jak reszta liczbowa pozostaje poniżej dzielnika. Kalkulator zarządza stopniami, miejscami zerowymi i zmianami znaków, które czynią to niezawodnym.

Jak działa dzielenie pisemne wielomianów

Kalkulator dzieli wielomiany przez pięć wewnętrznych działań:

• Zapisuje oba wielomiany malejąco według stopnia i uzupełnia brakujące potęgi zerowymi współczynnikami.
• Dzieli wyraz wiodący dzielnej przez wyraz wiodący dzielnika, aby uzyskać wyraz ilorazu.
• Mnoży cały dzielnik przez ten wyraz ilorazu.
• Odejmuje iloczyn, co eliminuje bieżący wyraz wiodący.
• Zdejmuje następny wyraz i powtarza, aż stopień reszty jest poniżej stopnia dzielnika.

Iloraz to suma wyników wyraz po wyrazie, a pozostały wielomian niższego stopnia to reszta.

Wzór na dzielenie wielomianów

Kalkulator używa algorytmu dzielenia wielomianów: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x), z deg(R) < deg(D). Równoważnie funkcja wymierna to P(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x). Dla (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3 tożsamość potwierdza (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.

Przykładowe zadania z wielomianami

Te przykłady dzielą wielomiany z resztą i bez.

Przykład 1 — Dokładne dzielenie: (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2)

1. Podziel x² ÷ x = x; pomnóż x(x − 2) = x² − 2x; odejmij, zostaje −3x + 6.
2. Podziel −3x ÷ x = −3; pomnóż −3(x − 2) = −3x + 6; odejmij, zostaje 0.
3. Więc (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Przykład 2 — Z resztą: (2x³ − 3x² + 0x − 4) ÷ (x − 1)

1. Podziel 2x³ ÷ x = 2x²; odejmij 2x²(x − 1), zostaje −x² + 0x − 4.
2. Podziel −x² ÷ x = −x; odejmij −x(x − 1), zostaje −x − 4; podziel −x ÷ x = −1; odejmij, zostaje −5.
3. Iloraz to 2x² − x − 1 z resztą −5.

Przykład 3 — Brakujące potęgi: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Zapisz x³ + 0x² + 0x − 8; podziel x³ ÷ x = x²; odejmij, zostaje 2x² + 0x − 8.
2. Podziel 2x² ÷ x = 2x; odejmij, zostaje 4x − 8; podziel 4x ÷ x = 4; odejmij, zostaje 0.
3. Więc (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Podziel x² ÷ x = x; pomnóż x(x − 2) = x² − 2x; odejmij, zostaje −3x + 6.
Podziel −3x ÷ x = −3; pomnóż −3(x − 2) = −3x + 6; odejmij, zostaje 0.
Więc (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Podziel 2x³ ÷ x = 2x²; odejmij 2x²(x − 1), zostaje −x² + 0x − 4.
Podziel −x² ÷ x = −x; odejmij −x(x − 1), zostaje −x − 4; podziel −x ÷ x = −1; odejmij, zostaje −5.
Iloraz to 2x² − x − 1 z resztą −5.

Zapisz x³ + 0x² + 0x − 8; podziel x³ ÷ x = x²; odejmij, zostaje 2x² + 0x − 8.
Podziel 2x² ÷ x = 2x; odejmij, zostaje 4x − 8; podziel 4x ÷ x = 4; odejmij, zostaje 0.
Więc (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Rozwiązane zadania z wielomianami

Jak podzielić 3x³ + 2x² − x + 5 przez x + 2?

(3x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x + 2) = 3x² − 4x + 7 z resztą −9. Podziel 3x³ ÷ x = 3x², odejmij, zostaje −4x² − x; podziel −4x² ÷ x = −4x, odejmij, zostaje 7x + 5; podziel 7x ÷ x = 7, odejmij, zostaje −9. Sprawdzenie: (x + 2)(3x² − 4x + 7) − 9 = 3x³ + 2x² − x + 5.

Jak dzielenie wielomianów upraszcza funkcję wymierną?

Przepisuje P(x)/D(x) jako wielomian plus ułamek właściwy. Dla (x² + 1)/(x − 1) dzielenie pisemne daje x + 1 z resztą 2, więc (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). Reszta nad dzielnikiem to część właściwa — ważna przy asymptotach i całkowaniu funkcji wymiernych.

Typowe błędy przy dzieleniu wielomianów

Dzielenie wielomianów prowadzi do 5 częstych błędów:

• Pominięcie zerowego współczynnika dla brakującego stopnia, co rozjeżdża wyrazy.
• Błędy znaku przy odejmowaniu iloczynu, zwłaszcza przy ujemnej stałej w dzielniku.
• Mnożenie wyrazu ilorazu tylko przez wyraz wiodący dzielnika.
• Zapisanie ilorazu lub dzielnej poza kolejnością malejącą stopni.
• Zatrzymanie przed spadkiem stopnia reszty poniżej stopnia dzielnika.

Kalkulator dzielenia wielomianów wstawia miejsca zerowe, porządkuje wyrazy według stopnia i śledzi każdy znak, więc każde odejmowanie jest dokładne.

Czeste pytania