Калкулатор за деление на многочлени с колона

Как да използвате калкулатора за деление на многочлени

За да делите многочлени, следвайте тези 4 стъпки:

• Въведете делимия многочлен, напр. 2x³ − 3x² + 4x − 5, в първото поле.
• Въведете делителя, напр. x − 2, във второто поле.
• Натиснете „Изчисли“, за да делите член по член в низходящ ред.
• Прочетете частния многочлен, остатъка и всяка показана стъпка.

Включете нулеви коефициенти за липсващи степени, напр. x³ + 0x² + 0x − 8, за да държи калкулаторът всяка степен подравнена в собствена колона.

Деление на многочлени и рационални функции

Многочленът е сума от членове, всеки коефициент, умножен по степен на променливата. Делението на многочлени опростява рационална функция — отношение на два многочлена — до подходяща форма. Степенът на многочлена е като размер на число: делението върви от най-високата степен надолу. Спира, когато остатъкът има по-ниска степен от делителя, както числовият остатък остава под делителя. Калкулаторът управлява степените, запълванията и смяната на знаци, които правят това надеждно.

Как работи делението на многочлени с колона

Калкулаторът дели многочлени чрез пет вътрешни действия:

• Записва двата многочлена в низходящ ред на степените и попълва липсващите степени с нулеви коефициенти.
• Дели водещия член на делимото на водещия член на делителя, за да получи член на частното.
• Умножава целия делител по този член на частното.
• Изважда произведението, което премахва текущия водещ член.
• Снася следващия член и повтаря, докато степента на остатъка е под степента на делителя.

Частното е сумата от резултатите член по член, а останалият многочлен от по-ниска степен е остатъкът.

Формула за деление на многочлени

Калкулаторът използва алгоритъма за деление на многочлени: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x), с deg(R) < deg(D). Еквивалентно рационалната функция е P(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x). За (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3 тъждеството потвърждава (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.

Примерни задачи с многочлени

Тези примери делят многочлени с и без остатък.

Пример 1 — Точно деление: (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2)

1. Разделете x² ÷ x = x; умножете x(x − 2) = x² − 2x; извадете, за да остане −3x + 6.
2. Разделете −3x ÷ x = −3; умножете −3(x − 2) = −3x + 6; извадете, за да остане 0.
3. Така (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Пример 2 — С остатък: (2x³ − 3x² + 0x − 4) ÷ (x − 1)

1. Разделете 2x³ ÷ x = 2x²; извадете 2x²(x − 1), за да остане −x² + 0x − 4.
2. Разделете −x² ÷ x = −x; извадете −x(x − 1), за да остане −x − 4; разделете −x ÷ x = −1; извадете, за да остане −5.
3. Частното е 2x² − x − 1 с остатък −5.

Пример 3 — Липсващи степени: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Запишете x³ + 0x² + 0x − 8; разделете x³ ÷ x = x²; извадете, за да остане 2x² + 0x − 8.
2. Разделете 2x² ÷ x = 2x; извадете, за да остане 4x − 8; разделете 4x ÷ x = 4; извадете, за да остане 0.
3. Така (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Разделете x² ÷ x = x; умножете x(x − 2) = x² − 2x; извадете, за да остане −3x + 6.
Разделете −3x ÷ x = −3; умножете −3(x − 2) = −3x + 6; извадете, за да остане 0.
Така (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Разделете 2x³ ÷ x = 2x²; извадете 2x²(x − 1), за да остане −x² + 0x − 4.
Разделете −x² ÷ x = −x; извадете −x(x − 1), за да остане −x − 4; разделете −x ÷ x = −1; извадете, за да остане −5.
Частното е 2x² − x − 1 с остатък −5.

Запишете x³ + 0x² + 0x − 8; разделете x³ ÷ x = x²; извадете, за да остане 2x² + 0x − 8.
Разделете 2x² ÷ x = 2x; извадете, за да остане 4x − 8; разделете 4x ÷ x = 4; извадете, за да остане 0.
Така (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Решени задачи с многочлени

Как се дели 3x³ + 2x² − x + 5 на x + 2?

(3x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x + 2) = 3x² − 4x + 7 с остатък −9. Разделете 3x³ ÷ x = 3x², извадете, за да остане −4x² − x; разделете −4x² ÷ x = −4x, извадете, за да остане 7x + 5; разделете 7x ÷ x = 7, извадете, за да остане −9. Проверка: (x + 2)(3x² − 4x + 7) − 9 = 3x³ + 2x² − x + 5.

Как делението на многочлени опростява рационална функция?

Презаписва P(x)/D(x) като многочлен плюс правилна дроб. За (x² + 1)/(x − 1) делението с колона дава x + 1 с остатък 2, така че (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). Остатъкът над делителя е правилната част — важна за асимптоти и интегриране на рационални функции.

Чести грешки при деление на многочлени

Делението на многочлени води до 5 чести грешки:

• Пропускане на нулев коефициент за липсваща степен, което размества членовете.
• Грешки в знака при изваждане на произведението, особено при отрицателна константа в делителя.
• Умножение на члена на частното само по водещия член на делителя.
• Записване на частното или делимото извън низходящ ред на степените.
• Спиране преди степената на остатъка да падне под степената на делителя.

Калкулаторът за деление на многочлени вмъква запълвания, подрежда членовете по степен и проследява всеки знак, така че всяко изваждане е точно.

Често задавани въпроси