Kalkulator Bahagi Panjang Polinomial

Polynomial calculator: divide polynomials; get quotient + remainder with steps.

Output: polynomial quotient and remainder.

Kalkulator Bahagi Panjang Polinomial membahagikan satu polinomial dengan polinomial lain dan mengembalikan hasil bahagi dan baki dengan kerja penuh. Ia menyusun kedua-dua polinomial dalam susunan darjah menurun, memasukkan pekali sifar untuk kuasa yang hilang, kemudian mengulangi gelung bahagi–darab–tolak–turunkan pada sebutan penuh. Hasil menulis semula fungsi rasional sebagai polinomial hasil bahagi tambah baki atas pembahagi. Masukkan polinomial angka dibahagi dan pembahagi untuk melihat setiap bahagi sebutan utama, setiap hasil darab, setiap penolakan, dan hasil bahagi serta baki akhir dalam bentuk standard.

Cara menggunakan Kalkulator Bahagi Panjang Polinomial

Untuk membahagi polinomial, ikuti 4 langkah berikut:

Masukkan polinomial angka dibahagi, seperti 2x³ − 3x² + 4x − 5, dalam medan pertama.
Masukkan polinomial pembahagi, seperti x − 2, dalam medan kedua.
Klik Kira untuk membahagi sebutan demi sebutan dalam susunan menurun.
Baca polinomial hasil bahagi, baki, dan setiap langkah ditunjukkan.

Sertakan pekali sifar untuk darjah yang hilang, seperti x³ + 0x² + 0x − 8, supaya kalkulator mengekalkan setiap kuasa sejajar dalam lajurnya sendiri.

Bahagi polinomial dan fungsi rasional

Polinomial ialah jumlah sebutan, setiap satu pekali darab kuasa pemboleh ubah. Membahagi polinomial ialah cara memudahkan fungsi rasional — nisbah dua polinomial — kepada bentuk yang betul. Darjah polinomial berperanan seperti saiz nombor: pembahagian berterusan dari darjah tertinggi ke bawah. Pembahagian berhenti apabila baki mempunyai darjah lebih rendah daripada pembahagi, menyerupai bagaimana baki numerik kekal di bawah pembahagi. Kalkulator Bahagi Panjang Polinomial mengendalikan darjah, placeholder, dan perubahan tanda yang menjadikan ini boleh dipercayai.

Pembahagian mengagihkan jumlah kepada kumpulan sama rata. Bahagi panjang melakukannya digit demi digit.

Pembahagi (32) — nombor yang anda gunakan untuk membahagi. Letakkannya di kiri kurungan.

Cara bahagi panjang polinomial berfungsi

Kalkulator membahagikan polinomial melalui lima tindakan dalaman:

Menulis kedua-dua polinomial dalam darjah menurun dan mengisi kuasa yang hilang dengan pekali sifar.
Membahagikan sebutan utama angka dibahagi dengan sebutan utama pembahagi untuk mendapatkan sebutan hasil bahagi.
Mendarab keseluruhan pembahagi dengan sebutan hasil bahagi itu.
Menolak hasil darab, yang menghapuskan sebutan utama semasa.
Menurunkan sebutan seterusnya dan mengulangi sehingga darjah baki di bawah darjah pembahagi.

Hasil bahagi ialah jumlah hasil sebutan demi sebutan, dan polinomial baki darjah lebih rendah ialah baki.

Menulis kedua-dua polinomial dalam darjah menurun dan mengisi kuasa yang hilang dengan pekali sifar.

Formula bahagi polinomial

Kalkulator Bahagi Panjang Polinomial menggunakan algoritma bahagi untuk polinomial: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x), dengan deg(R) < deg(D). Setara, fungsi rasional ialah P(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x). Untuk (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3, identiti mengesahkan (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.

Angka dibahagi

Pembahagi

Hasil bahagi

Baki

100 = 7 × 14 + 2 → Identiti sah

Contoh soalan polinomial

Contoh berikut membahagikan polinomial dengan dan tanpa baki.

Contoh 1 — Bahagi tepat: (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2)

Bahagi x² ÷ x = x; darab x(x − 2) = x² − 2x; tolak untuk meninggalkan −3x + 6.
Bahagi −3x ÷ x = −3; darab −3(x − 2) = −3x + 6; tolak untuk meninggalkan 0.
Jadi (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Contoh 2 — Dengan baki: (2x³ − 3x² + 0x − 4) ÷ (x − 1)

Bahagi 2x³ ÷ x = 2x²; tolak 2x²(x − 1) untuk meninggalkan −x² + 0x − 4.
Bahagi −x² ÷ x = −x; tolak −x(x − 1) untuk meninggalkan −x − 4; bahagi −x ÷ x = −1; tolak untuk meninggalkan −5.
Jadi hasil bahagi ialah 2x² − x − 1 dengan baki −5.

Contoh 3 — Kuasa hilang: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

Tulis x³ + 0x² + 0x − 8; bahagi x³ ÷ x = x²; tolak untuk meninggalkan 2x² + 0x − 8.
Bahagi 2x² ÷ x = 2x; tolak untuk meninggalkan 4x − 8; bahagi 4x ÷ x = 4; tolak untuk meninggalkan 0.
Jadi (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Bahagi x² ÷ x = x; darab x(x − 2) = x² − 2x; tolak untuk meninggalkan −3x + 6.
Bahagi −3x ÷ x = −3; darab −3(x − 2) = −3x + 6; tolak untuk meninggalkan 0.
Jadi (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Soalan polinomial yang dikerjakan

Bagaimana anda membahagi 3x³ + 2x² − x + 5 dengan x + 2?

(3x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x + 2) = 3x² − 4x + 7 dengan baki −9. Bahagi 3x³ ÷ x = 3x², tolak untuk meninggalkan −4x² − x; bahagi −4x² ÷ x = −4x, tolak untuk meninggalkan 7x + 5; bahagi 7x ÷ x = 7, tolak untuk meninggalkan −9. Semak: (x + 2)(3x² − 4x + 7) − 9 = 3x³ + 2x² − x + 5.

x^3+2x^2-5x-6x-2

Bagaimana bahagi polinomial memudahkan fungsi rasional?

Ia menulis semula P(x)/D(x) sebagai polinomial tambah pecahan betul. Untuk (x² + 1)/(x − 1), bahagi panjang memberikan x + 1 dengan baki 2, jadi (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). Baki atas pembahagi ialah bahagian betul, penting untuk graf asimptot dan integrasi fungsi rasional.

x^2+5x+6x+2

Kesilapan bahagi polinomial yang biasa

Bahagi polinomial menghasilkan 5 ralat yang kerap:

Melangkau pekali sifar untuk darjah yang hilang, yang menyelaraskan sebutan salah.
Ralat tanda semasa menolak hasil darab, terutamanya dengan pemalar pembahagi negatif.
Mendarab sebutan hasil bahagi hanya dengan sebutan utama pembahagi.
Menulis hasil bahagi atau angka dibahagi tidak dalam susunan darjah menurun.
Berhenti sebelum darjah baki turun di bawah darjah pembahagi.

Kalkulator Bahagi Panjang Polinomial memasukkan placeholder, menyusun sebutan mengikut darjah, dan menjejaki setiap tanda supaya setiap penolakan tepat.

Melangkau pekali sifar untuk darjah yang hilang, yang menyelaraskan sebutan salah.

Ralat tanda semasa menolak hasil darab, terutamanya dengan pemalar pembahagi negatif.

Mendarab sebutan hasil bahagi hanya dengan sebutan utama pembahagi.

Menulis hasil bahagi atau angka dibahagi tidak dalam susunan darjah menurun.

Berhenti sebelum darjah baki turun di bawah darjah pembahagi.

Soalan lazim

Bagaimana anda melakukan bahagi panjang polinomial?

Bahagi sebutan utama angka dibahagi dengan sebutan utama pembahagi, darab keseluruhan pembahagi dengan sebutan itu, tolak, kemudian turunkan sebutan seterusnya dan ulangi sehingga darjah baki di bawah darjah pembahagi.

Mengapa masukkan pekali sifar untuk sebutan yang hilang?

Placeholder seperti x³ + 0x² + 0x − 8 memberikan setiap darjah lajurnya sendiri supaya penolakan kekal sejajar. Membiarkan jurang menyebabkan sebutan beralih dan menghasilkan jawapan salah.

Bilakah bahagi polinomial berhenti?

Ia berhenti apabila polinomial baki mempunyai darjah lebih rendah daripada pembahagi. Baki darjah lebih rendah itulah baki.

Bagaimana bahagi polinomial membantu fungsi rasional?

Ia menulis semula fungsi rasional tak wajar sebagai polinomial hasil bahagi tambah pecahan baki betul, yang mendedahkan asimptot condong dan memudahkan integrasi: P/D = Q + R/D.

Apakah perbezaan bahagi panjang dan sintetik?

Bahagi panjang berfungsi untuk sebarang pembahagi dan menunjukkan setiap langkah sebutan. Bahagi sintetik ialah pintasan yang hanya berfungsi apabila pembahagi linear, seperti x − c.

Bagaimana saya semak jawapan bahagi polinomial?

Darab pembahagi dengan hasil bahagi dan tambah baki; hasil mesti sama dengan angka dibahagi: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x).

Bolehkah baki nombor daripada polinomial?

Ya. Apabila pembahagi linear, baki ialah pemalar, seperti (x² + 1) ÷ (x − 1) = x + 1 dengan baki 2.

Algoritma bahagi polinomial

Kalkulator Bahagi Panjang Polinomial memenuhi P(x) = D(x)·Q(x) + R(x) dengan deg(R) < deg(D), bentuk polinomial identiti bahagi. Untuk (2x³ − 3x² − 4) ÷ (x − 1) = 2x² − x − 1 R −5, identiti mengesahkan (x − 1)(2x² − x − 1) − 5 = 2x³ − 3x² − 4.