बहुपद लॉन्ग डिवीज़न कैलकुलेटर

Polynomial calculator: divide polynomials; get quotient + remainder with steps.

Output: polynomial quotient and remainder.

बहुपद लॉन्ग डिवीज़न कैलकुलेटर एक बहुपद को दूसरे से विभाजित करता है और भागफल व शेषफल पूर्ण कार्य सहित लौटाता है। यह दोनों बहुपदों को घात के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करता है, लुप्त घातों के लिए शून्य गुणांक डालता है, फिर पूर्ण पदों पर भाग–गुणा–घटाव–नीचे-लाना दोहराता है। परिणाम परिमेय फलन को भागफल बहुपद और भाजक पर शेष के रूप में लिखता है। भाज्य और भाजक बहुपद दर्ज करें, प्रत्येक अग्र पद विभाजन, प्रत्येक गुणनफल, प्रत्येक घटाव, और अंतिम भागफल–शेषफल मानक रूप में देखें।

बहुपद विभाजन कैलकुलेटर का उपयोग

बहुपद विभाजित करने के लिए, इन 4 चरणों का पालन करें:

पहले क्षेत्र में भाज्य बहुपद दर्ज करें, जैसे 2x³ − 3x² + 4x − 5.
दूसरे क्षेत्र में भाजक बहुपद, जैसे x − 2.
अवरोही क्रम में पद-दर-पद विभाजित करने के लिए गणना करें दबाएँ।
भागफल बहुपद, शेषफल, और हर दिखाया चरण पढ़ें।

लुप्त घातों के लिए शून्य गुणांक शामिल करें, जैसे x³ + 0x² + 0x − 8, ताकि हर घात अपने स्तंभ में संरेखित रहे।

बहुपद विभाजन और परिमेय फलन

बहुपद पदों का योग है, प्रत्येक चर की घात पर गुणांक। बहुपद विभाजन परिमेय फलन — दो बहुपदों का अनुपात — को उचित रूप में सरल करता है। बहुपद की घात संख्या के आकार जैसी: विभाजन उच्चतम घात से नीचे जाता है। शेष की घात भाजक से कम होने पर रुकता है, जैसे संख्यात्मक शेषफल भाजक से नीचे। कैलकुलेटर घात, स्थानधारक, और चिह्न परिवर्तन संभालता है।

भाग एक कुल को बराबर समूहों में बांटता है। लंबी भाग यह अंक-दर-अंक करता है।

भाजक (32) — वह संख्या जिससे आप भाग देते हैं। इसे ब्रैकेट के बाईं ओर रखें।

बहुपद लॉन्ग डिवीज़न कैसे काम करता है

कैलकुलेटर पाँच आंतरिक क्रियाओं से बहुपद विभाजित करता है:

दोनों बहुपद अवरोही घात में, लुप्त घातों में शून्य गुणांक।
भाज्य के अग्र पद को भाजक के अग्र पद से विभाजित कर भागफल पद।
पूरे भाजक को उस भागफल पद से गुणा।
गुणनफल घटाकर वर्तमान अग्र पद समाप्त।
अगला पद नीचे लाकर दोहराएँ जब तक शेष घात भाजक से कम।

भागफल पद-दर-पद परिणामों का योग, शेष निम्न घात का बचा बहुपद।

दोनों बहुपद अवरोही घात में, लुप्त घातों में शून्य गुणांक।

बहुपद विभाजन सूत्र

कैलकुलेटर बहुपद विभाजन एल्गोरिथ्म: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x), deg(R) < deg(D). समतुल्य P(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x). (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3 के लिए (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.

भाज्य

भाजक

भागफल

शेष

100 = 7 × 14 + 2 → सर्वसमिका सत्य है

बहुपद उदाहरण

ये उदाहरण शेषफल के साथ और बिना विभाजन दिखाते हैं।

उदाहरण 1 — सटीक: (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2)

x² ÷ x = x; x(x − 2) = x² − 2x; घटाएँ → −3x + 6.
−3x ÷ x = −3; −3(x − 2) = −3x + 6; घटाएँ → 0.
अतः (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

उदाहरण 2 — शेषफल: (2x³ − 3x² + 0x − 4) ÷ (x − 1)

2x³ ÷ x = 2x²; 2x²(x − 1) घटाएँ → −x² + 0x − 4.
−x² ÷ x = −x; −x(x − 1) → −x − 4; −x ÷ x = −1; घटाएँ → −5.
भागफल 2x² − x − 1, शेषफल −5.

उदाहरण 3 — लुप्त घात: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

x³ + 0x² + 0x − 8; x³ ÷ x = x²; घटाएँ → 2x² + 0x − 8.
2x² ÷ x = 2x; → 4x − 8; 4x ÷ x = 4; → 0.
अतः (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

x² ÷ x = x; x(x − 2) = x² − 2x; घटाएँ → −3x + 6.
−3x ÷ x = −3; −3(x − 2) = −3x + 6; घटाएँ → 0.
अतः (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

हल किए गए बहुपद प्रश्न

3x³ + 2x² − x + 5 को x + 2 से कैसे विभाजित करें?

(3x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x + 2) = 3x² − 4x + 7, शेषफल −9. 3x³ ÷ x = 3x², घटाएँ → −4x² − x; −4x² ÷ x = −4x, → 7x + 5; 7x ÷ x = 7, → −9. जाँच: (x + 2)(3x² − 4x + 7) − 9 = 3x³ + 2x² − x + 5.

x^3+2x^2-5x-6x-2

बहुपद विभाजन परिमेय फलन कैसे सरल करता है?

P(x)/D(x) को बहुपद और उचित भिन्न के रूप में लिखता है। (x² + 1)/(x − 1) में x + 1, शेष 2 → (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). भाजक पर शेष उचित भाग — अनंतस्पर्शी और समाकलन के लिए आवश्यक।

x^2+5x+6x+2

बहुपद विभाजन की सामान्य गलतियाँ

5 आम गलतियाँ:

लुप्त घात के शून्य गुणांक छोड़ना, पद बेसुरे।
गुणनफल घटाते चिह्न त्रुटि, विशेषकर ऋणात्मक भाजक स्थिरांक।
भागफल पद को केवल अग्र पद से गुणा।
भागफल या भाज्य गलत घात क्रम।
शेष घात भाजक से नीचे होने से पहले रुकना।

बहुपद कैलकुलेटर स्थानधारक डालता है, घात क्रम रखता है, हर चिह्न ट्रैक करता है।

लुप्त घात के शून्य गुणांक छोड़ना, पद बेसुरे।

गुणनफल घटाते चिह्न त्रुटि, विशेषकर ऋणात्मक भाजक स्थिरांक।

भागफल पद को केवल अग्र पद से गुणा।

भागफल या भाज्य गलत घात क्रम।

शेष घात भाजक से नीचे होने से पहले रुकना।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बहुपद लॉन्ग डिवीज़न कैसे करें?

भाज्य के अग्र पद को भाजक के अग्र पद से विभाजित करें, पूरे भाजक से गुणा, घटाएँ, अगला पद नीचे लाएँ, शेष घात भाजक से कम होने तक दोहराएँ।

लुप्त पदों के शून्य गुणांक क्यों?

x³ + 0x² + 0x − 8 हर घात को स्तंभ देता है। खाली जगह पद खिसकाती है, गलत परिणाम।

बहुपद विभाजन कब रुकता है?

जब शेष बहुपद की घात भाजक से कम। वह निम्न घात शेषफल है।

परिमेय फलन में कैसे मदद?

अनुचित परिमेय को भागफल + उचित शेष भिन्न में बदलता है: P/D = Q + R/D.

लॉन्ग और सिंथेटिक विभाजन अंतर?

लॉन्ग किसी भी भाजक, हर पद चरण। सिंथेटिक केवल रैखिक x − c के लिए शॉर्टकट।

बहुपद उत्तर जाँच?

भाजक × भागफल + शेषफल = भाज्य: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x).

क्या शेष संख्या हो सकता है?

हाँ। रैखिक भाजक पर शेष स्थिरांक, जैसे (x² + 1) ÷ (x − 1) = x + 1, शेष 2.

बहुपद विभाजन एल्गोरिथ्म

कैलकुलेटर P(x) = D(x)·Q(x) + R(x), deg(R) < deg(D) संतुष्ट करता है। (2x³ − 3x² − 4) ÷ (x − 1) = 2x² − x − 1 R−5: (x − 1)(2x² − x − 1) − 5 = 2x³ − 3x² − 4.