Polynomisk långdivisionskalkylator

Så använder du polynomisk långdivisionskalkylator

För att dividera polynom, följ dessa 4 steg:

• Ange dividendpolynomet, till exempel 2x³ − 3x² + 4x − 5, i det första fältet.
• Ange divisorpolynomet, till exempel x − 2, i det andra fältet.
• Klicka på Beräkna för att dividera term för term i fallande ordning.
• Läs kvotpolynomet, resten och varje visat steg.

Inkludera nollkoefficienter för saknade grader, till exempel x³ + 0x² + 0x − 8, så att kalkylatorn håller varje potens justerad i sin egen kolumn.

Polynomdivision och rationella funktioner

Ett polynom är en summa av termer, var och en en koefficient gånger en potens av variabeln. Att dividera polynom är hur du förenklar en rationell funktion — ett förhållande mellan två polynom — till en proper form. Graden av ett polynom fungerar som storleken på ett tal: division fortsätter från högsta grad nedåt. Division stannar när resten har lägre grad än divisorn, vilket speglar hur en numerisk rest stannar under divisorn. Polynomisk långdivisionskalkylator hanterar graderna, platshållarna och teckenbytena som gör detta tillförlitligt.

Hur polynomisk långdivision fungerar

Kalkylatorn dividerar polynom genom fem interna åtgärder:

• Skriver båda polynomen i fallande grad och fyller saknade potenser med nollkoefficienter.
• Dividerar ledande term i dividend med ledande term i divisor för en kvotterm.
• Multiplicerar hela divisorn med den kvottermen.
• Subtraherar produkten, vilket eliminerar aktuell ledande term.
• För ner nästa term och upprepar tills restens grad är under divisorns.

Kvoten är summan av term-för-term-resultaten, och det kvarvarande polynomet av lägre grad är resten.

Formel för polynomdivision

Polynomisk långdivisionskalkylator använder divisionsalgoritmen för polynom: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x), med deg(R) < deg(D). Motsvarande är den rationella funktionen P(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x). För (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3 bekräftar identiteten (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.

Polynomexempel

Dessa exempel dividerar polynom med och utan rester.

Exempel 1 — Exakt division: (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2)

1. Dividera x² ÷ x = x; multiplicera x(x − 2) = x² − 2x; subtrahera och lämna −3x + 6.
2. Dividera −3x ÷ x = −3; multiplicera −3(x − 2) = −3x + 6; subtrahera och lämna 0.
3. Så (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Exempel 2 — Med rest: (2x³ − 3x² + 0x − 4) ÷ (x − 1)

1. Dividera 2x³ ÷ x = 2x²; subtrahera 2x²(x − 1) och lämna −x² + 0x − 4.
2. Dividera −x² ÷ x = −x; subtrahera −x(x − 1) och lämna −x − 4; dividera −x ÷ x = −1; subtrahera och lämna −5.
3. Så kvoten är 2x² − x − 1 med rest −5.

Exempel 3 — Saknade potenser: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Skriv x³ + 0x² + 0x − 8; dividera x³ ÷ x = x²; subtrahera och lämna 2x² + 0x − 8.
2. Dividera 2x² ÷ x = 2x; subtrahera och lämna 4x − 8; dividera 4x ÷ x = 4; subtrahera och lämna 0.
3. Så (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Dividera x² ÷ x = x; multiplicera x(x − 2) = x² − 2x; subtrahera och lämna −3x + 6.
Dividera −3x ÷ x = −3; multiplicera −3(x − 2) = −3x + 6; subtrahera och lämna 0.
Så (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Dividera 2x³ ÷ x = 2x²; subtrahera 2x²(x − 1) och lämna −x² + 0x − 4.
Dividera −x² ÷ x = −x; subtrahera −x(x − 1) och lämna −x − 4; dividera −x ÷ x = −1; subtrahera och lämna −5.
Så kvoten är 2x² − x − 1 med rest −5.

Skriv x³ + 0x² + 0x − 8; dividera x³ ÷ x = x²; subtrahera och lämna 2x² + 0x − 8.
Dividera 2x² ÷ x = 2x; subtrahera och lämna 4x − 8; dividera 4x ÷ x = 4; subtrahera och lämna 0.
Så (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Genomräknade polynomproblem

Hur dividerar du 3x³ + 2x² − x + 5 med x + 2?

(3x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x + 2) = 3x² − 4x + 7 med rest −9. Dividera 3x³ ÷ x = 3x², subtrahera och lämna −4x² − x; dividera −4x² ÷ x = −4x, subtrahera och lämna 7x + 5; dividera 7x ÷ x = 7, subtrahera och lämna −9. Kontroll: (x + 2)(3x² − 4x + 7) − 9 = 3x³ + 2x² − x + 5.

Hur förenklar polynomdivision en rationell funktion?

Den skriver om P(x)/D(x) som polynom plus proper bråk. För (x² + 1)/(x − 1) ger långdivision x + 1 med rest 2, så (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). Resten över divisorn är den propera delen, vilket är avgörande för att rita asymptoter och integrera rationella funktioner.

Vanliga fel vid polynomdivision

Polynomdivision ger 5 frekventa fel:

• Hoppa över nollkoefficient för saknad grad, vilket feljusterar termer.
• Teckenfel vid subtraktion av produkten, särskilt med negativ divisor konstant.
• Multiplicera kvottermen med bara ledande termen i divisorn.
• Skriva kvot eller dividend i ordning som inte är fallande grad.
• Stanna innan restens grad sjunker under divisorns grad.

Polynomisk långdivisionskalkylator infogar platshållare, ordnar termer efter grad och spårar varje tecken så att varje subtraktion blir exakt.

Vanliga fragor