Calcolatrice di divisione in colonna di polinomi

Come usare la Calcolatrice di divisione in colonna di polinomi

Per dividere polinomi, segui questi 4 passaggi:

• Inserisci il polinomio dividendo, ad esempio 2x³ − 3x² + 4x − 5, nel primo campo.
• Inserisci il polinomio divisore, ad esempio x − 2, nel secondo campo.
• Clicca su Calcola per dividere termine per termine in ordine decrescente.
• Leggi il polinomio quoziente, il resto e ogni passaggio mostrato.

Includi coefficienti zero per i gradi mancanti, ad esempio x³ + 0x² + 0x − 8, così la calcolatrice mantiene ogni potenza allineata nella sua colonna.

Divisione di polinomi e funzioni razionali

Un polinomio è una somma di termini, ciascuno un coefficiente per una potenza della variabile. Dividere polinomi è il modo in cui semplifichi una funzione razionale — un rapporto di due polinomi — in forma appropriata. Il grado di un polinomio funziona come la grandezza di un numero: la divisione procede dal grado più alto verso il basso. La divisione si ferma quando il resto ha grado inferiore al divisore, come un resto numerico resta sotto il divisore. La Calcolatrice di divisione in colonna di polinomi gestisce i gradi, i segnaposto e i cambi di segno che rendono questo metodo affidabile.

Come funziona la divisione in colonna di polinomi

La calcolatrice divide i polinomi attraverso cinque azioni interne:

• Scrive entrambi i polinomi in grado decrescente e riempie le potenze mancanti con coefficienti zero.
• Divide il termine principale del dividendo per il termine principale del divisore per ottenere un termine del quoziente.
• Moltiplica l'intero divisore per quel termine del quoziente.
• Sottrae il prodotto, eliminando il termine principale corrente.
• Abbassa il termine successivo e ripete finché il grado del resto è inferiore a quello del divisore.

Il quoziente è la somma dei risultati termine per termine, e il polinomio residuo di grado inferiore è il resto.

Formula della divisione di polinomi

La Calcolatrice di divisione in colonna di polinomi usa l'algoritmo della divisione per polinomi: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x), con deg(R) < deg(D). In modo equivalente, la funzione razionale è P(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x). Per (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3, l'identità conferma (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.

Problemi di esempio con polinomi

Questi esempi dividono polinomi con e senza resto.

Esempio 1 — Divisione esatta: (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2)

1. Dividi x² ÷ x = x; moltiplica x(x − 2) = x² − 2x; sottrai per lasciare −3x + 6.
2. Dividi −3x ÷ x = −3; moltiplica −3(x − 2) = −3x + 6; sottrai per lasciare 0.
3. Quindi (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Esempio 2 — Con resto: (2x³ − 3x² + 0x − 4) ÷ (x − 1)

1. Dividi 2x³ ÷ x = 2x²; sottrai 2x²(x − 1) per lasciare −x² + 0x − 4.
2. Dividi −x² ÷ x = −x; sottrai −x(x − 1) per lasciare −x − 4; dividi −x ÷ x = −1; sottrai per lasciare −5.
3. Quindi il quoziente è 2x² − x − 1 con resto −5.

Esempio 3 — Potenze mancanti: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

1. Scrivi x³ + 0x² + 0x − 8; dividi x³ ÷ x = x²; sottrai per lasciare 2x² + 0x − 8.
2. Dividi 2x² ÷ x = 2x; sottrai per lasciare 4x − 8; dividi 4x ÷ x = 4; sottrai per lasciare 0.
3. Quindi (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Dividi x² ÷ x = x; moltiplica x(x − 2) = x² − 2x; sottrai per lasciare −3x + 6.
Dividi −3x ÷ x = −3; moltiplica −3(x − 2) = −3x + 6; sottrai per lasciare 0.
Quindi (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Dividi 2x³ ÷ x = 2x²; sottrai 2x²(x − 1) per lasciare −x² + 0x − 4.
Dividi −x² ÷ x = −x; sottrai −x(x − 1) per lasciare −x − 4; dividi −x ÷ x = −1; sottrai per lasciare −5.
Quindi il quoziente è 2x² − x − 1 con resto −5.

Scrivi x³ + 0x² + 0x − 8; dividi x³ ÷ x = x²; sottrai per lasciare 2x² + 0x − 8.
Dividi 2x² ÷ x = 2x; sottrai per lasciare 4x − 8; dividi 4x ÷ x = 4; sottrai per lasciare 0.
Quindi (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Problemi con polinomi svolti

Come dividi 3x³ + 2x² − x + 5 per x + 2?

(3x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x + 2) = 3x² − 4x + 7 con resto −9. Dividi 3x³ ÷ x = 3x², sottrai per lasciare −4x² − x; dividi −4x² ÷ x = −4x, sottrai per lasciare 7x + 5; dividi 7x ÷ x = 7, sottrai per lasciare −9. Verifica: (x + 2)(3x² − 4x + 7) − 9 = 3x³ + 2x² − x + 5.

Come la divisione di polinomi semplifica una funzione razionale?

Riscrive P(x)/D(x) come polinomio più frazione propria. Per (x² + 1)/(x − 1), la divisione in colonna dà x + 1 con resto 2, quindi (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). Il resto sul divisore è la parte propria, essenziale per graficare gli asintoti e integrare funzioni razionali.

Errori comuni nella divisione di polinomi

La divisione di polinomi produce 5 errori frequenti:

• Saltare un coefficiente zero per un grado mancante, che disallinea i termini.
• Errori di segno quando si sottrae il prodotto, soprattutto con costante negativa nel divisore.
• Moltiplicare il termine del quoziente solo per il termine principale del divisore.
• Scrivere quoziente o dividendo fuori dall'ordine decrescente di grado.
• Fermarsi prima che il grado del resto scenda sotto quello del divisore.

La Calcolatrice di divisione in colonna di polinomi inserisce i segnaposto, ordina i termini per grado e tiene traccia di ogni segno così ogni sottrazione è esatta.

Domande frequenti