Kalkulator Pembagian Bersusun Polinomial

Polynomial calculator: divide polynomials; get quotient + remainder with steps.

Output: polynomial quotient and remainder.

Kalkulator Pembagian Bersusun Polinomial membagi satu polinomial dengan polinomial lain dan mengembalikan hasil bagi dan sisa dengan perhitungan lengkap. Kalkulator menyusun kedua polinomial dalam urutan derajat menurun, menyisipkan koefisien nol untuk pangkat yang hilang, lalu mengulangi siklus bagi–kali–kurang–turunkan pada suku utuh. Hasil menulis ulang fungsi rasional sebagai polinomial hasil bagi plus sisa atas pembagi. Masukkan polinomial yang dibagi dan pembagi untuk melihat setiap pembagian suku utama, setiap perkalian, setiap pengurangan, dan hasil bagi serta sisa akhir dalam bentuk standar.

Cara menggunakan Kalkulator Pembagian Bersusun Polinomial

Untuk membagi polinomial, ikuti 4 langkah berikut:

Masukkan polinomial yang dibagi, seperti 2x³ − 3x² + 4x − 5, di kolom pertama.
Masukkan polinomial pembagi, seperti x − 2, di kolom kedua.
Klik Hitung untuk membagi suku demi suku dalam urutan menurun.
Baca polinomial hasil bagi, sisa, dan setiap langkah yang ditampilkan.

Sertakan koefisien nol untuk derajat yang hilang, seperti x³ + 0x² + 0x − 8, agar kalkulator menjaga setiap pangkat sejajar di kolomnya sendiri.

Pembagian polinomial dan fungsi rasional

Polinomial adalah jumlah suku, masing-masing koefisien dikali pangkat variabel. Membagi polinomial adalah cara menyederhanakan fungsi rasional — rasio dua polinomial — ke bentuk yang tepat. Derajat polinomial berperan seperti ukuran angka: pembagian berlanjut dari derajat tertinggi ke bawah. Pembagian berhenti ketika sisa memiliki derajat lebih rendah dari pembagi, mencerminkan bagaimana sisa numerik tetap di bawah pembagi. Kalkulator Pembagian Bersusun Polinomial mengelola derajat, placeholder, dan perubahan tanda yang membuat ini andal.

Pembagian membagi total menjadi kelompok sama besar. Pembagian bersusun melakukannya digit demi digit.

Pembagi (32) — bilangan pembagi. Letakkan di kiri kurung.

Cara kerja pembagian bersusun polinomial

Kalkulator membagi polinomial melalui lima tindakan internal:

Menulis kedua polinomial dalam derajat menurun dan mengisi pangkat yang hilang dengan koefisien nol.
Membagi suku utama yang dibagi dengan suku utama pembagi untuk mendapatkan suku hasil bagi.
Mengalikan seluruh pembagi dengan suku hasil bagi itu.
Mengurangkan perkalian, yang menghilangkan suku utama saat ini.
Menurunkan suku berikutnya dan mengulangi hingga derajat sisa di bawah derajat pembagi.

Hasil bagi adalah jumlah hasil suku demi suku, dan polinomial sisa derajat lebih rendah adalah sisa.

Menulis kedua polinomial dalam derajat menurun dan mengisi pangkat yang hilang dengan koefisien nol.

Rumus pembagian polinomial

Kalkulator Pembagian Bersusun Polinomial menggunakan algoritma pembagian untuk polinomial: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x), dengan deg(R) < deg(D). Setara, fungsi rasional adalah P(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x). Untuk (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3, identitas mengonfirmasi (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.

Bilangan yang dibagi

Pembagi

Hasil bagi

Sisa

100 = 7 × 14 + 2 → Identitas berlaku

Contoh soal polinomial

Contoh berikut membagi polinomial dengan dan tanpa sisa.

Contoh 1 — Pembagian tepat: (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2)

Bagi x² ÷ x = x; kalikan x(x − 2) = x² − 2x; kurangi untuk menyisakan −3x + 6.
Bagi −3x ÷ x = −3; kalikan −3(x − 2) = −3x + 6; kurangi untuk menyisakan 0.
Jadi (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Contoh 2 — Dengan sisa: (2x³ − 3x² + 0x − 4) ÷ (x − 1)

Bagi 2x³ ÷ x = 2x²; kurangi 2x²(x − 1) untuk menyisakan −x² + 0x − 4.
Bagi −x² ÷ x = −x; kurangi −x(x − 1) untuk menyisakan −x − 4; bagi −x ÷ x = −1; kurangi untuk menyisakan −5.
Jadi hasil bagi adalah 2x² − x − 1 dengan sisa −5.

Contoh 3 — Pangkat hilang: (x³ − 8) ÷ (x − 2)

Tulis x³ + 0x² + 0x − 8; bagi x³ ÷ x = x²; kurangi untuk menyisakan 2x² + 0x − 8.
Bagi 2x² ÷ x = 2x; kurangi untuk menyisakan 4x − 8; bagi 4x ÷ x = 4; kurangi untuk menyisakan 0.
Jadi (x³ − 8) ÷ (x − 2) = x² + 2x + 4.

Bagi x² ÷ x = x; kalikan x(x − 2) = x² − 2x; kurangi untuk menyisakan −3x + 6.
Bagi −3x ÷ x = −3; kalikan −3(x − 2) = −3x + 6; kurangi untuk menyisakan 0.
Jadi (x² − 5x + 6) ÷ (x − 2) = x − 3.

Soal polinomial yang dikerjakan

Bagaimana cara membagi 3x³ + 2x² − x + 5 dengan x + 2?

(3x³ + 2x² − x + 5) ÷ (x + 2) = 3x² − 4x + 7 dengan sisa −9. Bagi 3x³ ÷ x = 3x², kurangi untuk menyisakan −4x² − x; bagi −4x² ÷ x = −4x, kurangi untuk menyisakan 7x + 5; bagi 7x ÷ x = 7, kurangi untuk menyisakan −9. Periksa: (x + 2)(3x² − 4x + 7) − 9 = 3x³ + 2x² − x + 5.

x^3+2x^2-5x-6x-2

Bagaimana pembagian polinomial menyederhanakan fungsi rasional?

Fungsi rasional ditulis ulang sebagai polinomial plus pecahan yang tepat. Untuk (x² + 1)/(x − 1), pembagian bersusun memberikan x + 1 dengan sisa 2, jadi (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). Sisa atas pembagi adalah bagian yang tepat, penting untuk grafik asimtot dan integrasi fungsi rasional.

x^2+5x+6x+2

Kesalahan pembagian polinomial yang umum

Pembagian polinomial menghasilkan 5 kesalahan yang sering:

Melewatkan koefisien nol untuk derajat yang hilang, yang menyelaraskan suku salah.
Kesalahan tanda saat mengurangkan perkalian, terutama dengan konstanta pembagi negatif.
Mengalikan suku hasil bagi hanya dengan suku utama pembagi.
Menulis hasil bagi atau yang dibagi tidak dalam urutan derajat menurun.
Berhenti sebelum derajat sisa turun di bawah derajat pembagi.

Kalkulator Pembagian Bersusun Polinomial menyisipkan placeholder, mengurutkan suku menurut derajat, dan melacak setiap tanda sehingga setiap pengurangan tepat.

Melewatkan koefisien nol untuk derajat yang hilang, yang menyelaraskan suku salah.

Kesalahan tanda saat mengurangkan perkalian, terutama dengan konstanta pembagi negatif.

Mengalikan suku hasil bagi hanya dengan suku utama pembagi.

Menulis hasil bagi atau yang dibagi tidak dalam urutan derajat menurun.

Berhenti sebelum derajat sisa turun di bawah derajat pembagi.

Pertanyaan umum

Bagaimana cara melakukan pembagian bersusun polinomial?

Bagi suku utama yang dibagi dengan suku utama pembagi, kalikan seluruh pembagi dengan suku itu, kurangi, lalu turunkan suku berikutnya dan ulangi hingga derajat sisa di bawah derajat pembagi.

Mengapa menyisipkan koefisien nol untuk suku yang hilang?

Placeholder seperti x³ + 0x² + 0x − 8 memberikan setiap derajat kolomnya sendiri sehingga pengurangan tetap sejajar. Meninggalkan celah menyebabkan suku bergeser dan menghasilkan jawaban salah.

Kapan pembagian polinomial berhenti?

Berhenti ketika polinomial sisa memiliki derajat lebih rendah dari pembagi. Sisa derajat lebih rendah itulah sisa.

Bagaimana pembagian polinomial membantu fungsi rasional?

Fungsi rasional tak wajar ditulis ulang sebagai polinomial hasil bagi plus pecahan sisa yang tepat, yang mengungkap asimtot miring dan memudahkan integrasi: P/D = Q + R/D.

Apa perbedaan pembagian bersusun dan sintetis?

Pembagian bersusun bekerja untuk pembagi apa pun dan menampilkan setiap langkah suku. Pembagian sintetis adalah pintasan yang hanya bekerja ketika pembagi linear, seperti x − c.

Bagaimana cara memeriksa jawaban pembagian polinomial?

Kalikan pembagi dengan hasil bagi dan tambahkan sisa; hasil harus sama dengan yang dibagi: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x).

Bisakah sisa berupa angka alih-alih polinomial?

Ya. Ketika pembagi linear, sisa adalah konstanta, seperti (x² + 1) ÷ (x − 1) = x + 1 dengan sisa 2.

Algoritma pembagian polinomial

Kalkulator Pembagian Bersusun Polinomial memenuhi P(x) = D(x)·Q(x) + R(x) dengan deg(R) < deg(D), bentuk polinomial identitas pembagian. Untuk (2x³ − 3x² − 4) ÷ (x − 1) = 2x² − x − 1 R −5, identitas mengonfirmasi (x − 1)(2x² − x − 1) − 5 = 2x³ − 3x² − 4.